《高考数学二轮专题检测：14 高考对于导数几何意义的必会题型》.docVIP

14　高考对于导数几何意义的必会题型 1．已知直线y＝x＋1与曲线y＝ln(x＋a)相切，则a的值为________． 答案　2 解析　设直线y＝x＋1切曲线y＝ln(x＋a)于点(x0，y0)，则y0＝1＋x0，y0＝ln(x0＋a)， 又y′＝，∴y′|x＝x0＝＝1，即x0＋a＝1. 又y0＝ln(x0＋a)， 从而y0＝0，x0＝－1，∴a＝2. 2．(2014·课标全国Ⅱ改编)设曲线y＝ax－ln(x＋1)在点(0,0)处的切线方程为y＝2x，则a＝________. 答案　3 解析　令f(x)＝ax－ln(x＋1)，则f′(x)＝a－.由导数的几何意义可得在点(0,0)处的切线的斜率为f′(0)＝a－1.又切线方程为y＝2x，则有a－1＝2，∴a＝3. 3．曲线y＝在点(－1，－1)处的切线方程为________． 答案　2x－y＋1＝0 解析　易知点(－1，－1)在曲线上，且y′＝＝， 所以切线斜率k＝y′|x＝－1＝＝2. 由点斜式得切线方程为y＋1＝2(x＋1)，即2x－y＋1＝0. 4．曲线y＝xln x在点(e，e)处的切线与直线x＋ay＝1垂直，则实数a的值为________． 答案　2 解析　依题意得y′＝1＋ln x，y′|x＝e＝1＋ln e＝2， 所以－×2＝－1，a＝2. 5．(2014·大纲全国改编)曲线y＝xex－1在点(1,1)处切线的斜率等于________． 答案　2 解析　y′＝ex－1＋xex－1＝(x＋1)ex－1， 故曲线在点(1,1)处的切线斜率为y′|x＝1＝2. 6．已知函数f(x)＝x3－3x，若过点A(0，16)且与曲线y＝f(x)相切的切线方程为y＝ax＋16，则实数a的值是________． 答案　9 解析　先设切点为M(x0，y0)，则切点在曲线y0＝x－3x0上，① 求导数得到切线的斜率k＝f′(x0)＝3x－3， 又切线过A、M两点，所以k＝， 则3x－3＝.② 联立①②可解得x0＝－2，y0＝－2， 从而实数a的值为a＝k＝＝9. 7．(2013·广东)若曲线y＝ax2－ln x在点(1，a)处的切线平行于x轴，则a＝________. 答案　 解析　y′＝2ax－，所以y′|x＝1＝2a－1＝0，所以a＝. 8．(2013·江西)若曲线y＝xα＋1(α∈R)在点(1,2)处的切线经过坐标原点，则α＝________. 答案　2 解析　y′＝αxα－1，∴y′|x＝1＝α. 曲线在点(1,2)处的切线方程为y－2＝α(x－1)，将点(0,0)代入得α＝2. 9．(2014·江西)若曲线y＝e－x上点P处的切线平行于直线2x＋y＋1＝0，则点P的坐标是________． 答案　(－ln 2,2) 解析　设P(x0，y0)，∵y＝e－x，∴y′＝－e－x， ∴点P处的切线斜率为k＝－e－x0＝－2， ∴－x0＝ln 2，∴x0＝－ln 2， ∴y0＝eln 2＝2，∴点P的坐标为(－ln 2,2)． 10．设函数f(x)＝ax－，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为7x－4y－12＝0. (1)求f(x)的解析式； (2)证明：曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0和直线y＝x所围成的三角形面积为定值，并求此定值． (1)解　方程7x－4y－12＝0可化为y＝x－3. 当x＝2时，y＝. 又f′(x)＝a＋，于是 解得故f(x)＝x－. (2)证明　设P(x0，y0)为曲线上任一点，由y′＝1＋知曲线在点P(x0，y0)处的切线方程为 y－y0＝(x－x0)， 即y－(x0－)＝(1＋)(x－x0)． 令x＝0得y＝－， 从而得切线与直线x＝0的交点坐标为(0，－)． 令y＝x得y＝x＝2x0， 从而得切线与直线y＝x的交点坐标为(2x0,2x0)． 所以点P(x0，y0)处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形面积为|2x0|＝6. 故曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形的面积为定值，此定值为6. 11．(2014·北京)已知函数f(x)＝2x3－3x. (1)求f(x)在区间[－2,1]上的最大值； (2)若过点P(1，t)存在3条直线与曲线y＝f(x)相切，求t的取值范围； (3)问过点A(－1,2)，B(2,10)，C(0,2)分别存在几条直线与曲线y＝f(x)相切？(只需写出结论) 解　(1)由f(x)＝2x3－3x得f′(x)＝6x2－3. 令f′(x)＝0，得x＝－或x＝. 因为f(－2)＝－10，f＝，f＝－，f(1)＝－1， 所以f(x)在区间[－2,1]上的最大值为f＝. (2)设过点P(1，t)的直线与曲线y＝f(x)相切于点(x0，y0)， 则y0＝2x－3x0，且切线斜率为k＝6