《高考数学二轮专题检测：15 导数与单调性》.docVIP

15　导数与单调性 1．若函数h(x)＝2x－＋在(1，＋∞)上是增函数，则实数k的取值范围是________． 答案　[－2，＋∞) 解析　由条件得h′(x)＝2＋＝≥0在(1，＋∞)上恒成立，即k≥－2x2在(1，＋∞)上恒成立，所以k∈[－2，＋∞)． 2．已知函数f(x)＝x2＋mx＋ln x是单调递增函数，则m的取值范围是________． 答案　[－2，＋∞) 解析　依题意知，x0，f′(x)＝， 令g(x)＝2x2＋mx＋1，x∈(0，＋∞)， 当－≤0时，g(0)＝10恒成立，∴m≥0成立， 当－0时，则Δ＝m2－8≤0，∴－2≤m0， 综上，m的取值范围是m≥－2. 3．若函数y＝f(x)在R上可导，且满足不等式xf′(x)－f(x)恒成立，且常数a，b满足ab，则下列不等式一定成立的是________． ①af(b)bf(a); ②af(a)bf(b)； ③af(a)bf(b); ④af(b)bf(a)． 答案　② 解析　令F(x)＝xf(x)， 则F′(x)＝xf′(x)＋f(x)，由xf′(x)－f(x)， 得xf′(x)＋f(x)0， 即F′(x)0， 所以F(x)在R上为递增函数． 因为ab，所以af(a)bf(b)． 4．(2014·课标全国Ⅱ改编)若函数f(x)＝kx－ln x在区间(1，＋∞)单调递增，则k的取值范围是________． 答案　[1，＋∞) 解析　由于f′(x)＝k－，f(x)＝kx－ln x在区间(1，＋∞)单调递增?f′(x)＝k－≥0在(1，＋∞)上恒成立． 由于k≥，而01，所以k≥1.即k的取值范围为[1，＋∞)． 5．设f(x)是定义在R上的奇函数，且f(2)＝0，当x0时，有0恒成立，则不等式x2f(x)0的解集是________________． 答案　(－∞，－2)∪(0,2) 解析　x0时′0，∴φ(x)＝为减函数， 又φ(2)＝0，∴当且仅当0x2时，φ(x)0， 此时x2f(x)0. 又f(x)为奇函数，∴h(x)＝x2f(x)也为奇函数． 故x2f(x)0的解集为(0,2)∪(－∞，－2)． 6．函数f(x)的定义域为(0，)，f′(x)是它的导函数，且f(x)f′(x)tan x恒成立，则下列结论正确的是________． ①f()f(); ②f(1)2f()sin 1； ③f()f(); ④f()f()． 答案　④ 解析　f(x)f′(x)tan x?f(x)cos xf′(x)sin x， 构造函数g(x)＝， 则g′(x)＝， 根据已知f(x)cos xf′(x)sin x， 得g′(x)0，所以g(x)在(0，)上单调递增， 所以g()g()， 即， 所以f()f()． 7．函数f(x)＝ex－ln(x＋1)的单调递增区间是________． 答案　(0，＋∞) 解析　f′(x)＝ex－，该函数单调递增且f′(0)＝0， 所以当x0时，f′(x)0， 所以函数f(x)的单调递增区间是(0，＋∞)． 8．已知函数f(x)＝mx2＋ln x－2x在定义域内是增函数，则实数m的取值范围为________． 答案　[1，＋∞) 解析　f′(x)＝mx＋－2≥0对一切x0恒成立， m≥－2＋， 令g(x)＝－2＋，则当＝1时，函数g(x)取最大值1，故m≥1. 9．设f(x)＝－x3＋x2＋2ax.若f(x)在(，＋∞)上存在单调递增区间，则a的取值范围为________． 答案　(－，＋∞) 解析　由已知得f′(x)＝－x2＋x＋2a ＝－(x－)2＋＋2a. 当x∈[，＋∞)时，f′(x)的最大值为f′()＝＋2a. 令＋2a0，得a－. 所以当a－时，f(x)在(，＋∞)上存在单调递增区间． 10．已知a∈R，函数f(x)＝(－x2＋ax)ex(x∈R，e为自然对数的底数)． (1)当a＝2时，求函数f(x)的单调递增区间； (2)函数f(x)是否为R上的单调函数？若是，求出a的取值范围；若不是，请说明理由． 解　(1)当a＝2时，f(x)＝(－x2＋2x)ex， ∴f′(x)＝(－2x＋2)ex＋(－x2＋2x)ex ＝(－x2＋2)ex. 令f′(x)0，即(－x2＋2)ex0. ∵ex0，∴－x2＋20，解得－x. ∴函数f(x)的单调递增区间是(－，)． (2)若函数f(x)在R上单调递减， 则f′(x)≤0对x∈R都成立， 即[－x2＋(a－2)x＋a]ex≤0对x∈R都成立． ∵ex0，∴x2－(a－2)x－a≥0对x∈R都成立． ∴Δ＝[－(a－2)]2＋4a≤0，即a2＋4≤0，这是不可能的． 故函数f(x)不可能在R上单调递减． 若函数f(x)在R上单调递增， 则f′(x)≥0对x∈R都成立， 即[－x2＋(a－2)x