《奥数填空题》.docVIP

高中数学竞赛填空题训练 1. 若不等式有解，则实数的范围是 . 解：当时，不等式化为,要使不等式有解，必须∴ 当时，不等式化为不等式恒有解故满足条件的范围是。 2．设是定义在上的奇函数，且满足；又当时，，则方程的解集为 。 解：依题意，，即是以４为周期的周期函数；可求得 由图象有，（）。所以解集为： 3.设均为正实数，且，则的最小值为_________. 解：令，则，且，其中 。 4. 设 函数的最小正周期为 . 解: 。 5. 设P是圆上一动点，A点坐标为。当P在圆上运动时，线段PA的中点M的轨迹方程为 . 设M的坐标为 ，因为P点在圆上，所以 所以P点轨迹为。 6 设是虚数，，且，则的实部取值范围为 .设 当，无解；当7. 设。如果对任何，都有，则k的最小值为 . 分子，所以k的最小值为。8．＝ 。根据题意要求，，。于是有。因此。 9．设，则。解： 。 10．设集合，是S的子集，且满足：，，那么满足条件的集合A的个数为 ．解：当时，有种选择方法， 有6种选择方法，所以共有种选择方法；当时，一旦取定，有种选择方法，有种选择方法，所以选择的方法有 种． 综上，满足条件的子集共有371个． 11．已知数列满足，则=___ .．解：由已知得，且．所以，即{}是首项、公差均为1的等差数列，所以=n，即有.12．已知坐标平面上三点，是坐标平面上的点，且，则点的轨迹方程为 ．解：如图，作正三角形，由于也是正三角形，所以可证得　≌，所以．又因为，所以点共线． ，所以P点在的外接圆上，又因为，所以所求的轨迹方程为． 13.已知，则的值是___________.：弦切变换,构造齐次式解题. . 14.乒乓球比赛采用7局4胜制，若甲、乙两人实力相当，获胜的概率各占一半，则打完5局后仍不能结束比赛的概率等于_____________.法一打完5局后仍不能结束比赛的情况是甲、乙两人中任意某个人任意胜3局，另一个人胜2局，其概率为. 法打完5局后能结束比赛的情况是：甲、乙两人中任意某个人任意胜4局或5局全胜，其概率等于，所以，打完5局后仍不能结束比赛的概率等于. 15.不等式的解集为___________.：原不等式等价于 设，则，，从而原不等式可化为 . 16． 从m个男生，n个女生（）中任选2个人当组长，假设事件A表示选出的2个人性别相同，事件B表示选出的2个人性别不同．如果A的概率和B的概率相等，则（m，n）的可能值为 ．解：，由于，所以，整理得．即是完全平方数，且， ，，解得 （不合条件），.故．17．是平面上不共线三点，向量，，设P为线段AB垂直平分线上任意一点，向量．若，，则的值是 解：如图,是线段AB的垂直平分线，， ，， ．18. 若，则?的最小值为 。解：由不等式（≥=1可得. 19．已知定点A（3，0）和B（－2，1），又M是椭圆上的一动点，则的最大值与最小值之和等于 。解：设椭圆另一焦点为F, =,线段延长线与椭圆的两交点即为取得最小值和最大值的点。 20．过正方体ABCD—A1B1C1D1的对角线BD1的截面面积为S，Smax和Smin分别为S的最大值和最小值，则的值为 。面DDBB或DCBA等最大，面DEBF等最小（E为CB中点，F为AD中点）。 21．已知，直线与 的交点在直线上，则 。解：由已知可知，可设两直线的交点为，且为方程 ， 的两个根，即为方程 的两个根即0。22. 整数，且，则整数组为 。解：方程两边同乘以８，得。　因为，所以要使左边为奇数，只有，即。则。要使左边为奇数，只有，即。从而有　，即。故有。　23.关于的三次函数的两个极值点为P、Q，其中P为原点，Q在曲线上，则曲线的切线斜率的最大值的最小值为__________.：设，依题意知：，∴，故，，由及点Q在其上，可设Q点的坐标为. 由Q为的一个极值点得， 显然，∴，∴， ∵，∴存在最大值， 数形结合可求得，其最小值为. 24. 满足方程所有实数解为 。解变形得，解得。 25.把半径为1的4个小球装入一个大球内，则此大球的半径的最小值为__________ .：4个小球在大球内两两相切，4个小球的球心连线构成1个正四面体，正四面体的中心与大球的球心重合，大球的半径等于正四面体的外接球半径加上小球的半径，所以大球半径为.(其中,表示正四面体的高,表示正四面体的棱长.) 26．在边长为1的正三角形ABC的边AB、AC上分别取D