一道IMO预选题的拓展与推广.pdfVIP

18 中等数学 ③ 一道IMO预选题的 移l PA|+移2PA2÷t≮尹矗3+魄只莲4=§， 设A；筹．则两：一盾薪，代入式③得 拓展与推广 J 1’l ’ 一|；【秽lPBl+秽2 杨学枝 由予点P、BI、A：、A，、A。在同一球面上， (福建省福州市第二十四中学，350015) 设此球球心为0。，半径为r．则 笔者受文[13宸发写了文[2】．就着不 一轰移l尹8i÷秽2p硅i+嚣3尹硅；+v4PA； 久，重庆的沈毅老师给笔者来信指出，由文 [2]的证明过程巾可得到一个很有意义的等 式，并凌魏基础上提崮了空闻推广(冕本文 ．1——，1——“一^ ．‘“叶^————’，^ 式①、②)，笔者证明了沈老师的猜想．本文 对这道IMO预选题作进一步拓展与推广． 2 命题P鸯曜殛俸A，A：A，A；内饪意一 =2(一盖移l+‰+移3+‰)p∥+2PO· 点，直线A。P与避P、A：、A3、A。所确定的球面 (一A秽1OBl+吃042+毫，3n43+％OA4) 交于点8。，直线A2P与过P、A，、A3、A。所确 =2 定的球蠹交予点器：，直线A3P与过P、A；、A2、 A。所确定的球瓣交予点露，，直线A。P与过 =2 PO·(一A口lPBl+口2 P、A。、A：、A，所确定的球面交于点戢．则 PA2+3PA3+口4PA4) =0。 ㈩箍+差+箍+差咄① 如酉AlP=逖掣脚 (2)81AlP·A2P·A3P·A4P 《咫l·PB2·PB3·PB4， ② 蔗lP U1PA； ③ 船l一秽2黝i+秽3泓；+％黝i’ 当且仪当秽，PAi。I)2PA；=秽3PA；=‰黝i时， 式②取等号，其中，z】。、秽：、t，，、秽。分别为四面体 由式③得 A；P 移lPA； PA2A3A4、AlPA3A4、AlA2PA4、AlA2A3P的体积。 证明：易知 命题4记秘书打印的可能顺序的总数 n—l n—l =∑c川n-i…；一∑C～rt-im-i一；+1 i∞l i；l 为甬数，(n)，则以n)=C≥一C蔷1． =∑c：n川-Ir∑