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2011年第 11期 中学数学研究 47 一 道奥林匹克试题的别证及其它 陕西省武功县教育局教研室 (712200) 李歆 对如下一道Oliforum数学奥林匹克试题： 化简，揭示出所证 问题 的背景不等式 (或源不等 问题 1 设a，b，c是正实数，证明： 式)③．现在，如果我们把 ③式再变得简单一些，并 1(ab+bc 将上述证法倒过来思考，那么容易得到下列一个新 一 + + + 的三角形不等式： + ) ① 问题2 在 AABC中，求证 ： a b 文[1]利用柯西不等式和Schur不等式进行了 + + ≤ + + 证明，十分精彩，但由于学生对 Schur不等式比较陌 1 a+b+ ④ 生，因此，在理解中还有一定的困难，笔者经过探究， 一 找到了另一种较为朴素的简单证法，同时，又发现了 证明：令a= +y，b=Y+ ，C=z+ ，其中 ， 一 个优美的三角形不等式． Y，是正实数，则④ 式可转化为 证明：①式等价于 ± ±兰 上 b bc (Y+z)(z+ )。(z+ )(+Y) + + _1(a+ + + ≤ + ++ )) 。。 ( }_ L(1+ + ) 2口be(b+c)(c+a)+2abc(c+。)(a+b) +Y)(Y+ )一 2 ‘Y ‘z +2abc(a+b)(b+c) ~=2xyz[(+Y)。+(Y+ )+(+ )] (a+b)(b+c)(c+a)(a2b +bZc +c0) (+Y)(Y+Z)(+ )(xy+ +ZX) 04bc+ 04bc。 + 口bc。 + 口b4c + 口bc4 + 2 yz+2xy +2xyz Ⅱ。bc =三三x3y+y3z+Z3X+x2y+ +Z2X ⑤ 口4b +口b +b4c +bc +a3c4+a4c3 ⑦ · ． ’Y + 2yz． · 3Y +x3z 2x。yz · · ． ． X ， 同理 ． b +c b2c+bc ③ ·