3p2阶群的自同构群.pdfVIP

第3l卷第6期 喀什师范学院学报 VoI．31No．6 Teachers 2010年11月 JournalofKashgar College NOV．20lO 3p2阶群的自同构群 薛胜利，乔启发，尼亚孜别克 (伊犁师范学院数学系，新疆伊宁835000) 摘 要：主要给出了3户2(户是奇素数且户3)阶群的自同构群的结构， 关键词：自同构；半直积；全形；有限群 中图分类号：0152．1文献标识码：A 文章编号：1006．432X{2010)06．0013．04 关于有限群的自同构群的研究可分为两个方面，即给 (5)G5=(口，b，fIap=矿=f3=[a，6]=1， 定群求其自同构群和给定自同构群求原群．关于加2阶群 的自同构群的研究文献[1，2，3]给出了加2且户≥g时的 情况，而当声q且p，q均为奇素数的情况尚未解决．本文 研究了J=3时的情况．本文符号与术语同文献[2]，特别 (modp))． 地GL(2，R)表示户元域上的2级全线性群． 引理2【2】 设半直积A=H》N中，H对N的作用 1预备知识 为共轭作用，若有同构群厂：H—X和g：N—y，满足g 在这里，我们先给出几个文中将要用到的概念[5】． 兰X莎Y． 定义1若G有一循环正规子群L，且G／L也是循环 引理3【5】若G是坍雄阶亚循环群，(研，，2)=1，且 群，则称G为亚循环群． Z(G)=1，则AutG=HolC。． 定义2设N，H是G群的两个子群，满足N》G，G 3主要命题 =HN且HnN=1，则称G是N与H的半直积，记作G= H》N，此时H对N的作用为共轭作用，G中的每一个 命题1 元素都可以惟一表成hn(h∈H，，l∈N)，G中的元hlnI和 HolCp2． h2n2(^I，h2∈H，nl，以2∈N)的运算． ap。=1)是 证明G4惟一的一个西洛尹子群A=(aI (hl行I)(h2n2)=(hih2h2—1tlIh2椎2)=hlh2咒lh2n2． 循环正规子群，且G。／A=B为三阶循环群．由定义1知， 2主要引理 G4为亚循环群．若z∈Z(G。)，则必有xa=“且西=bx． 引理l【4】设G是阶为3p2(户是奇素数，且户3)的 换，矛盾．同理若z=b，也矛盾．若z=a‘，(i，夕2)=1，则a‘ 有限群，r为模p之一原根．当外户一1时，G有Gl，G2，G3 三种类型；只有当3J夕一1时，6才有G4，G，G6三种类型 (此时也包括Gl，G2，G3)．其中： (G4)=1．由引理3即得AutG4HolC^2．证毕． (1)G1=(口I口3广=1)； (2)G2=口，6，fIap=bv=C3=[a，6]=[b，C] ≤户一1；i，j不全为零)共户2一1个，3阶元为口‘巩或aibJc2 =【a，c]=1； ap=6p=c3=[n，