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方差分析简介 1. 引言 方差分析（analysis of variance，简称ANOVA）是一种假设检验方法，即基本思想可概述为把全部数据分解成几分每一部分表示某一影响因素或影响因素之间的所产生的效应将各部分相比较,依据F作出统计推断从而。，如表1所示。 表1 试验数据 … … 1 … … 2 … … … … … … … … … j … … … … … … … … … r … … 根据这些数据，可以计算全体数据的均值和和各水平对应数据的均值： ，，i=1, 2, …, p 进一步，可以计算全体数据的偏差平方和、因素A对应的偏差平方和，以及误差的偏差平方和： 下一步，需要计算这三个偏差平方和所对应的自由度。之所以要计算自由度，是因为如果用偏差平方和除以对应的数据项数，得到的统计量并不是方差的无偏估计。而偏差平方和与对应的自由度的商才是方差的无偏估计。 设有n个数据x1, x2, …, xn，它们的平方和的自由度取决于{xi}之间有多少个线性约束关系。 设X=(x1, x2, …, xn)T，若存在秩为m的矩阵A，满足 则S的自由度是n-m。 下面来求ST的自由度。令，，，，则{xi}之间存在一个线性约束 即m=1，A=(1, 1, …, 1)，故。同理可得，。 可以证明（证明本文从略），对于偏差平方和与其对应的自由度，如下关系成立： ， 这就是Fisher偏差平方和加性原理，它是全部方差分析的基础。 在得到偏差平方和及其对应的自由度后，就可以得到因素A和误差e对应的平均偏差平方和 ， 平均偏差平方和是反映数据波动大小的一个测度，比较和的大小可以看出因素A的不同水平带来的试验指标的波动是否与随机误差相同，所以，可以由此判断因素A对试验指标是否有显著影响。判断和是否相同的方法采用F检验（基于F分布的假设检验），令 则可认为F服从自由度为和的F分布。用求出的F值查F分布表可得到对应的P值，一般取置信水平α＝0.05，即当P值小于0.05时拒绝原假设，认为因素A对试验指标的影响显著，否则维持原假设，认为影响不显著。 2.3 数学模型 设因素A取了p个水平，每个水平重复了r次试验，在水平Ai下的第i次实验结果yij可以分解为 其中，表示在水平Ai下的理论指标值，是试验误差。我们把试验误差认为是相互独立的随机变量，且服从正态分布，这是方差的基本假设之一。 为了看出因素各水平的影响大小，将再进行分解，令 ，i=1, 2, …, p 则 ，i=1, 2, …, p; j=1, 2, …, r 显然{ai}之间有关系 ai表示水平Ai对试验结果产生的影响，它称作水平Ai的效应。 方差分析的数学模型就是建立在这么几条假定的基础上的： （1），i=1, 2, …, p; j=1, 2, …, r （2） （3）相互独立且都服从分布 由这三条建立的模型叫做线性模型。 建立模型以后，统计分析需要解决下列问题： 参数估计。即通过试验估计μ和{ai}，它们的估计量用和{}表示。 可以证明（本文从略），和{}是μ和{ai}的无偏估计。 假设检验。如果因素A对指标有影响，效应{ai}不全为0，如果因素A对指标没有影响，则效应{ai}全为0。因此，要检验因素A对指标影响是否显著就是检验假设 这需要选择一个合适的统计量。令 ， 则 故 如果原假设H0成立，则，有 因为相互独立且都服从分布，由统计理论推知服从自由度为的分布，服从自由度为的分布，而且两者独立，从而 服从自由度为，的F分布。所以可以采用F统计量作为假设检验的统计量（这种假设检验称为F检验），通过查F分布表确定拒绝域或P值，从而作出推断结论。 3. 多因素方差分析 所谓多因素方差分析，就是同时检验多个因素影响是否显著的方差分析方法。多因素方差分析。方差分析的一大优势就是可以同时考虑多个试验因素对试验指标的影响，这样，既节省了试验次数，试验误差也比进行多次单因素方差分析要小。 在多因素方差分析中，有一个很重要的问题，就是试验设计(DOE: Design of Experiment)。其主要目的是通过设计每次试验中因素水平的搭配，用尽可能少的试验次数和试验数据满足方差分析的要求，获得较好的分析结果。最常用的试验设计有析因设计和正交设计。前者是对所有因素的所有水平组合都进行试验，因此又称交叉分组设计；后者是按照某种正交表设计试验，以较少的试验次数即可接近析因设计的效果。因此，析因设计一般用于两个因素且水平数较少的情况，而因素和水平较多时则多采用正交设计。除正交设计外，还有其它许多实验设计方法，如系统分组设计（嵌套设计）、正交拉丁方设计、裂区设计等，它们一般用在并非任意组合都可以实现或找不到合适的正交表的情况。实验设计