方阵可对角化的一个充要条件.pdfVIP

( ) ( ) 山东农业大学学报 自然科学版 , 2008, 39 4 : 64 1 - 642 Journal of Shandong A gricu ltural U n iversity (N atu ral Science) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 方阵可对角化的一个充要条件 王志武 (山东农业大学信息科学与工程学院 , 山东泰安 2710 18; ) 摘要 :方阵是否可以对角化 ,是矩阵的一条很重要的性质 。对方阵可对角化的充要条件的理解 ,一直是线性代数 学习中的一个困难问题 。本文利用矩阵秩的相关结论 , 给出并证明了方阵可对角化的一个充要条件 。 关键词 :方阵 ;特征值 ;特征向量 ;对角化 中图分类号 : O 151. 2　　　文献标识码 : A 　　　文章编号 : 1000 - 2324 (2008) 04 - 064 1 - 03 A NECESSA RY A ND SUFF IC IENT CO ND IT IO N O F D IA GO NAL IZA T IO N FO R SQUA RE M A TR IX WAN G Zh i - wu ( college of Inform ation Science and Engineering, Shandong A gricu ltu ral Un iversity, Taian 27 1018, Shangdong, Ch ina) A b stract: In th is note, a nece ssary and sufficien t condition of diagonalization for square m atrix is con sidering. diagonalization of square m atrix is a d ifficu lty learn ing p rob lem in linear algeb ra and it also is an importan t character for square m atrix. By u sing conclu sion s of m atrix rank , a nece ssary and sufficien t condition of diago nalization for square m atrix is given. Key words: Square m atrix; eigenvalue; eigenvector; diagonalization 线性代数中方阵是否可以对角化 ,是矩阵的一条很重要的性质 。方阵可以相似对角化有一个充要条 件为 :方阵的最小多项式 m (λ) 没有重根 。本文给出其通俗的形式, 并利用矩阵秩的结论给出证明。这种 ( ) 充要条件的形式, 无需引进矩阵最小多项式等概念, 更利于处理矩阵的对角化问题 。本文以 r A 表示矩 阵 A 的秩, E 表示相应阶数的单位矩阵, O 表示零矩阵 。 为了证明方便起见, 首先给出如下引理 。 引理 1 n 阶方阵 A 可以对角化的充要条件是 A 有 n 个线性无关的特征向量 [参见文献 [ 1] ] 。 λ λ λ( ) 引理 2 设 1 , 2 , …, s s n 为 n 阶方阵 A 的所有互异特征值, 则矩阵 A 线性无关的特征向量的最 ( λ ( λ ) ( λ ) 大个数为 sn -