初中数学竞赛教程22、整数的整除性和奇偶性.docVIP

2013年暑期初一数学竞赛第二十二讲：整数的整除性和奇偶性 【例题精选】 例1、如果是正整数，和是奇数，那么（ ） A、对于的所有选择都是奇数； B、对于的所有选择都是偶数； C、当是偶数时为奇数，为奇数时为偶数； D、当是奇数时为奇数，为偶数时为偶数； 1、设、、都是整数，且是偶数，试说明、、都 是偶数。 2、若中有两个是奇数，一个是偶数，判断是 奇数还是偶数？ 3、设，，…，是1到2011的整数打乱顺序后，任意一种顺序的排列，请判断 是奇数还是偶数，并说明理由。 4、甲、乙两人玩纸牌游戏，甲持有全部的红桃牌（A作1，J、Q、K分别作11、12、13），乙持有全部的黑桃牌，两人轮流出牌，每次出一张，得到一对牌，出完为止，共得到13对牌，每对牌彼此相减，问这13个差的乘积的奇偶性能否确定？ 例2、黑板上写上1，2，3，…，1998，按下列规定进行操作：每次擦去其中的任意两个数 和，然后写上它们的差（大减小），直到黑板上剩下一个数为止。问：黑板上剩下的数是奇数还是偶数？为什么？ 1、黑板上写有1，2，3，…，1997，1998这1998个数，对它们进行如下操作：擦去其中 三个数，再将这三个数和的个位数字补写在黑板上，例如擦去5，13，1998后添6，再如擦去6，6，38后添0，等等。如果经过998次操作后，黑板上只剩下两个数，一个是25，则另一个数是什么？ 2、在1，2，3，…，1989之间填上“+”或“—”，求和时可以得到最小的非负数是多少？ 例3、设有只茶杯，开始时杯口都朝上，把茶杯随意翻转，规定每翻转只，称为一次翻动，翻动过的茶杯允许再翻。当为奇数，为偶数时，是否存在某此翻动使杯口都朝下？ 1、若有7个杯子杯口朝下摆在桌子上，每次翻转4个杯子（口朝下的翻为口朝上，口朝上 的翻为口朝下）。经过若干次这样的翻动，问：可不可能全部杯子口都朝上？ 2、若有6个杯子杯口朝下摆在桌子上，每次翻转4个杯子（口朝下的翻为口朝上，口朝上 的翻为口朝下）。经过若干次这样的翻动，问：可不可能全部杯子口都朝上？ 例4、2003年3月23日是星期日，那么2003年元旦是（ ） A、星期二 B、星期三 C、星期四 D、星期五 1、今天是星期日，从今天算起，第天是星期（ ） A、一 B、二 C、三 D、四 2、设，今天是星期一，若算第一天，则第天是星期几？ 例5、已知两个三位数与的和能被37整除，试证明：六位数也能被37整除。 1、已知7位数是72的倍数，求出所有符合条件的7位数。 2、五位数是9的倍数，其中是4的倍数，则的最小值是多少？ 3、设p ()是质数，并且也是质数．求证：是合数．能被整除，那么满足条件的最大正整数的值为 。 1、如果、、、都是整数，且，，求的值。 【巩固拓展】 1、已知是整数，现有两个代数式：（1）；（2），其中能表示“任意整数”的是（ ） A、只有（1） B、只有（2） C、有（1）和（2） D、一个也没有 2、在2010个自然数：1，2，3，…，2010的每一个数前面任意添上“+”或“-”，则它们的代数和一定是（ ） A、奇数 B、偶数 C、负整数 D、非负整数 3、如果是三个任意整数，则、，（ ） A、都不是整数 B、至少有两个整数 C、至少有一个整数 D、都是整数 4、已知都是整数，，则（ ） A、一定是奇数 B、一定是偶数 C、仅当同奇或同偶时，是偶数 D、的奇偶性不能确定 5、一个三位自然数，当它分别被2、3、4、5、7除时，余数都是1，则具有这个性质的最小三位数是 ，最大三位数是 。 6、有一列数为1，2，5，13，34，…，从第2个数起，每个数的3倍正好等于它左右两边的两个数的和，那么第2011个数是 数（填“奇”或“偶”） 7、用写有数字的4张卡片、、、可以排出不同的四位数，其中能被22整除的四位数有 。 8、已知整数能被198整除，则 ， 。 9、求证:奇数的平方被8除余1；请你进一步证明:2006不能表示为10个奇数的平方之和. 10、设有两个自然数的和为135，试说明它们的平方和不能等于222。 11、六位数是99的倍数，求整数、的值。 12、黑板上写着三个整数，任意擦去其中一个，将它改写成为其他两数的和减去1，这样 继续下去，最后得到117，2001，2003。问原来的三个数能否是2，2，