函数的对称性及其应用.pdfVIP

难点剖析 函数 的对称 性及 其应 用 ■ 陆在安 函数是中学数学教学的主线 ，是 中学数学的核 厂(2n— )一厂(26一 )，用 z代 2n— 得 心内容，也是整个高中数学的基础。函数的性质是 ，()一，(26—2口+z)。 高考的重点与热点，函数的对称性是函数的一个基 所以 =，(z)是周期函数，且 2In—bI是其一 本性质，对称关系不仅广泛存在于数学问题之中，而 个周期 。 且利用对称性往往能更简捷地使问题得到解决，对 仿照①的证明过程②的证明留给读者，以下给 称关系还充分体现了数学之美。本文从必修 1中函 出③的证明： ‘ 数的奇偶性出发将其推广，就函数 自身的对称性和 ． 函‘数 ：，(z)图象既关于点A(d，c)成中心 不同函数之间的对称性这两个方面来探讨函数与对 对称，．．‘-厂()+_厂(2n—z)一2c。用26一 代z，得 称有关的性质。 ，(26一 )+尢2口一(26一 )]一2c。 一 、 函数 自身的对称性探究 又 I．‘函数 一．厂(．z)图象直线x=b成轴对称， ‘ 必修 1中奇函数的定义：若函数 _厂(z)，对于定 ． ． 厂(26一z)一厂(z)代人 (*)，得 义域中的任意z都有，(一z)一一，()，则f()为 f(sc)：2f一尢2(a--b)+ ]。(**) 奇函数。 用 2(a--b)一z代 2．7，得 由奇函数的定义知 ，奇函数的图象关于原点对 尢2(a一6)+z]一2c—rE4(口一6)+z]，代入 称。将这种中心对称的特点进行推广得到下面的 (**)，得 ，()一尢4(n一6)+ ]，故 ．)，：，(z)是周 性质。 期函数 ，且 4In一6l是其一个周期 定理 1 函数 一厂()的图象关于点A(a，6)对 二、不同函数对称性的探究 称的充要条件是 厂()+f(2a--z)一2b。 定理4 函数 3J一 ()与 一26一／(2口一 )的 从数形结合分析：把(n厂())、(2a一 “厂(2口一 图象关于点A(a，6)成中心对称。 z))看成 厂()图象上的两点坐标 ，由中点坐标公式 定理5 ①函数 =厂()与 一厂(2a--x)的图 可知这两点关于点 (n，6)对称。 象关于直线z—n成轴对称。 从代数方面证明：(必要性)设点P(z，)是 一 ②函数 =厂(z)与n— 一厂(a— )的图象关于 ，(z)图像上任一点 ，．。‘点 P(x，)关于点A(a，6)的 直线 z．+ —n成轴对称。 对称点 P (2a— ，2b— )也在 =．厂()图象上， ③函数 一，()与 —n一，(+n)的图象关于 ．．．26一j，