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南昌大学基础数学 南昌大学基础数学 4.1期望 一、离散型随机变量的期望 常见离散型分布的期望: 1. 两点分布X～B(1, p) : 2. 二项分布X～B(n, p) : 3. 泊松分布 X～P(?): 二维离散型的期望: 二、连续型随机变量的期望 常见连续型分布的期望: 1. 均匀分布 X～U[a,b]: 2. 指数分布: 3. 正态分布 X～N(? ,?2): 二维连续型的期望: 三、随机变量的函数的期望 四、期望的性质 * * 一、离散型随机变量的期望 二、连续型随机变量的期望 三、随机变量的函数的期望 四、期望的性质 分布函数全面描述了随机变量的概率性 质, 但实际问题中, 有时不需要知道随机变量 的全面情况而只要知某些特征就够了. 所谓随机变量的数字特征,是指连系于它 的分布函数的某些数, 如平均值、最大可能值 等,它们反映随机变量的某方面的特征. 例如对一射手的技术评定, 除了要了解命 中环数的平均值,同时还必须考虑稳定情况, 命 中点分散还是比较集中? 这些特征往往为数字 特征所决定 例1 某班有N个人,其中有ni个人为ai分, i=1,2,…,k , ,求平均成绩 解: 平均成绩为: 若用X表示成绩,则 定义: 设离散型随机变量X的分布律为P{X=xk}=pk (k=1,2,…),若级数 绝对收敛(即 ),则称 为X的数学期望,简称期望或均值,记为 E(X) 即 例2 已知离散型随机变量X的可能值为 x1= ?1, x2=0, x3=1,且E(X)=0.1,E(X2)=0.9 ,求对应于可能值x1, x2, x3的概率p1,p2,p3 解: p1+p2+p3=1 E(X)=(?1)?p1+0?p2+1?p3=0.1 p2 p1+p3 P 0 1 X2 ?E(X2)=0?p2+1?(p1+p3) =0.9 得: p1=0.4, p2=0.1, p3=0.5 1?p p P 0 1 X E(X)=0?(1?p)+1?p =p 令i=k?1,得: =np[p+(1?p)]n ?1 =np 令i=k?1,得: =?e??e? =? 定义: 设连续型随机变量X的概率密度 为f (x), 若积分 绝对收敛 (即 ), 则称积分 为X的期望,记为E(X) 即 = = 令 ,得: =? Y=g(X),为了求Y的期望,可以先求Y的分布, 也可以由X的分布来求Y的期望 定理: 设g(x)是连续函数, Y是随机变量 X的函数: Y=g(X) (1)设X是离散型随机变量,分布律为 P{X=xk}=pk (k=1,2,…) 若 (2)设X是连续型随机变量,概率密度为 f(x),若 绝对收敛,则有: 绝对收敛,则有: 推广到二维: Z=g(X,Y) 离散型: 连续型: E(Z)=E[g(X,Y)] E(Z)=E[g(X,Y)] 例3 设随机变量(X,Y)的分布律如下: 解: E(XY)=0?1?0.15+0?2?0.15 +1?1?0.45+1?2?0.25 =0.95 0.15 0.15 0.45 0.25 0 1 1 2 X Y 求E(XY) 例4 设(X,Y)在D={(x,y)|x2+y2≤1}上服从 均匀分布,求E(X), E(XY) 解: =0 D * *