2016电子科大高等数学竞赛试题与解答.docVIP

2002电子科大高等数学竞赛试题与解答 一、选择题（40分，每小题4分，只有一个答案正确）. 1．设在（）上连续，且为非零偶函数，，则（B）. （A）是偶函数； （B）是奇函数； （C）是非奇非偶函数； （D）可能是奇函数，也可能是偶函数. 2．设在上连续，且，则………………………………（D）. （A）在内不一定有使； （B）对于上的一切都有； （C）在的某个小区间上有；（D）在内至少有一点使. 3．已知当时，的导数与为等价无穷小，则…………………………………………………………………（B）. （A）等于0； （B）等于； （C）等于1； （D）不存在. 4．设是微分方程的满足，的解，则…………………………………………………………………（B）. （A）等于0； （B）等于1； （C）等于2； （D）不存在. 5．设直线L：，平面：，则它们的位置关系是 （C）. （A）； （B）L在上； （C）； （D）L与斜交. 6．设在全平面上有，，则保证不等式成立的条件是………………………………………………………………（A）. （A），； （B），； （C），； （D），. 7．设S为八面体全表面上半部分的上侧，则不正确的是………（D）. （A）；（B）；（C）；（D）. 8．设常数，则级数是……………………（A）. （A）条件收敛； （B）绝对收敛； （C）发散； （D）敛散性与有关 9．设A、B都是阶非零矩阵，且，则A和B的秩…………………………（D）. （A）必有一个等于零；（B）都等于；（C）一个小于，一个等于；（D）都小于. 10．设A是3阶可逆矩阵，且满足，（为A的伴随矩阵），则A的三个特征值是…………………………………………………………………（C）. （A）3，3，； （B），，2； （C）3，，； （D），2，2. 二、（8分）设在的邻域具有二阶导数，且，试求，及. [解] 由等价无穷小得 （或由泰勒公式得） 三、（8分）设及，求. [解] . 四、（8分）设函数满足与，，求，，（表示对的一阶偏导数，其他类推）. [解]等式两端对x求导,得 . 这两个等式,对x求导得 , 由已知条件得,故解得， . 五、（8分）设向量组，，…，是齐次线性方程组的一个基础解系，向量不是方程组的解，即，试证明：向量组，，，…，线性无关. [证]设有一组数使得,即 两边左乘A,得 , ,即,为的基础解系 。故线性无关。 六、（10分）已知三元二次型经正交变换化为，又知，其中，为A的伴随矩阵，求此二次型的表达式. [解]由条件知A的特征值为，则，的特征值为，A*的特征值为，由已知是A*关于的特征向量，也就是是A关于的特征向量，设A 关于的特征向量为, 是实对称阵，与X要正交，解出.令，则，故 七、（8分）设S是以L为边界的光滑曲面，试求可微函数使曲面积分 与曲面S的形状无关. [解]以L为边界任作两个光滑曲面，它们的法向量指向同一例，，记为与所围成的闭曲面，取外侧，所围立体为，则，由高斯公式得，由的任意性得 , 即解线性非齐次方程得. 八、（10分）设一球面的方程为，从原点向球面上任一点Q处的切平面作垂线，垂足为点P，当点Q在球面上变动时，点P的轨迹形成一封闭曲面S，求此封闭曲面S所围成的立体的体积. [解]设点Q为，则球面的切平面方程为 垂线方程为代入及切平面方程得，，即（P点轨迹）.化为球坐标方程得. . 九、（10分）设函数在（）上连续，在可导，且. （1）求证：，，等式成立. （2）求极限. [证]（1）令, ,由中值定理得 ，. （2）由上式变形得，两边取极限，，，，，. 十、（10分）设函数在（，）连续，周期为1，且，函数在[0，1]上有连续导数，设，求证：级数收敛. [证]由已知条件，令 则为周期为1的函数，且， 因此 =，连续、周期， 有界，，使，有，即， 又在连续，，使，有， 故，由正项级数比较法知收敛. 1