_第二章优化设计的数学基础new.pptVIP

n元函数在点x0处沿d方向的方向导数 当梯度方向和d方向重合时，方向导数值最大，即梯度方向是函数值变化最快方向，而梯度的模就是函数值变化率的最大值。 多元函数的梯度 海赛矩阵的特征：是实对称矩阵。 K-T条件是多元函数取得约束极值的必要条件,以用来作为约束极值的判断条件，又可以来直接求解较简单的约束优化问题。 对于具有 个等式约束的 维优化问题 可以构造新的目标函数： 式中的 就是原目标函数 的等式约束条件，而待定系数 称为拉格朗日乘子， 称为拉格朗日函数。这种方法称为拉格朗日乘子法。 在上式中显然多出了 个待定系数 （可看成是新的变量），而 有 个变量。结果共有 变量。但是 可提供 个方程，再加上 个等式约束条件 ，共有 个方程，足以解出这 个变量。 由于 给出 ，所以这 个方程可以看成是通过下述条件给出的 这样拉格朗日乘子法可以叙述如下 设 ，目标函数是 ，约束条件是 的 个等式约束方程。为了求出 的可能的极值点 ，引入拉格朗日乘子 ，并构成一个新的目标函数 把 作为一个新的无约束条件的目标函数来求解它的极值点，所得结果就是在满足约束条件 的原目标函数 的极值点。自 具有极值的必要条件 可得 个方程，从而解得 和 共 个未知变量的值。由上述方程组求得的 是函数 极值点的坐标值。 拉格朗日乘子的物理意义 考虑函数 的一个二维问题，且只有一个约束条件 时的简单情况。此时拉格朗日函数的形式是 故有 所以，可以写出 式中的 是单位变量的目标值变化率，而 则是单位变量的约束值变化率。可以称 为优化效率或敏度系数。从而由 可知，各变量的改变所导致的优化效率是相等的，且等于一个常数 。 例题：用拉格朗日乘子法计算在约束函数 的 条件下，求函数 的极值点坐标。 解：改造的目标函数是 第六节 不等式约束优化问题的极值条件 一元函数在给定区间上的极值条件 对于一元函数 在给定区间 上的极值问题，可以写成下列具有不等式约束条件的优化问题 拉格朗日乘子法不仅适合于求解等式约束优化问题，而且可以推广应用于具有不等式约束优化问题中去。 为了能应用拉格朗日乘子法来讨论此问题的极值条件，需引入松弛变量使不等式约束变成等式约束。 设 和 为两个松弛变量，则上述两个不等式约束可写成如下的两个相应的等式约束 这样则得该问题的拉格朗日函数 其中的 和 是对应于不等式约束条件的拉格朗日乘子，应满足非负的要求，即 故根据拉格朗日乘子法，此问题的极值条件是： 分析 可知，此时不是