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(2-27) (2-26) （1）对多连体问题，还须满足位移单值条件。 （2-17） （2-18） 位移边界条件 应力边界条件 应力函数表示的相容方程 应力函数表示的应力分量 （对常体力情形） 说明： （2）应力函数确定方法：逆解法、半逆解法。 按应力求解的应力函数法基本方程： * 按应力求解的应力函数法基本方程： （2-20） （2-21） （2-22） (平面应力情形) (平面应变情形) （2-23） (2-25) 形变表示的相容方程 应力表示的相容方程 应力函数表示的相容方程 (基本形式) (常体力情形) 适用情形： 小变形、任意弹塑性材料。 (常体力情形) 平面问题的变形协调方程（相容方程） * 平面问题的变形协调方程（相容方程） 位移边界条件 应力边界条件 圣维南原理的要点： （1）小部分边界（次要边界）； （2）静力等效； （3）结果影响范围： 近处有影响，远处影响不大。 圣维南原理的应用： （1）面力分布复杂的边界（次要边界）如：集中力，集中力偶等； （2）位移边界（次要边界）； 边界条件与圣维南原理 * 边界条件与圣维南原理 （1）常体力情况下简化 将体力转化为等效的面力： （2）任意斜面的应力、主应力、主方向、最大最小剪应力计算。 （3）任意方向的正应变计算。 其它 * 边界条件与圣维南原理 第四章平面问题的极坐标解答 主要内容 极坐标中的平衡微分方程 极坐标中的几何方程与物理方程 极坐标中的应力函数与相容方程 应力分量的坐标变换式 轴对称应力与相应的位移 圆环或圆筒受均布压力 压力隧洞 圆孔的孔口应力集中 半平面体在边界上受集中力 半平面体在边界上受分布力 提 要 平面问题的极坐标解答 要点： （1）极坐标中平面问题的基本方程： —— 平衡方程、几何方程、物理方程、相容方程、边界条件。 （2）极坐标中平面问题的求解方法及应用 应用： 圆盘、圆环、厚壁圆筒、楔形体、半无限平面体等的应力与变形分析。 引 言 平衡微分方程： （4－1） 几何方程： （4－2） 物理方程： （4－3） (平面应力情形) 极坐标求解的基本方程 极坐标求解的基本方程 边界条件： 位移边界条件： 应力边界条件： 为边界上已知位移， 为边界上已知的面力分量。 （位移单值条件） r r r 极坐标求解的基本方程 结论 弹性力学极坐标求解归结为 （1） 由问题的条件求出满足式（4－6）的应力函数 （4－6） （2） 由式（4－5）求出相应的应力分量： （4－5） 弹性力学极坐标求解总结 （3） 将上述应力分量 满足问题的边界条件： 位移边界条件： 应力边界条件： 为边界上已知位移， 为边界上已知的面力分量。 （位移单值条件） 结论 弹性力学极坐标求解总结 轴对称问题： q O （4－5） （4－6） 由式（4－5）和（4－6）得应力分量和相容方程为： （4－9） 相容方程： 轴对称问题应力分量与相容方程 轴对称问题应力分量与相容方程 应力分量： 平面轴对称问题小结 （4－10） （1） 应力函数 （2） 应力分量 （4－11） （3） 位移分量 （4-12） 式中：A、B、C、H、I、K 由应力和位移边界条件确定。 平面轴对称问题小结 由式（4-13）可以看出： 应力轴对称并不表示位移也是轴对称的。 但在轴对称应力情况下，若物体的几何形状、受力、位移约束都是轴对称的，则位移也应该是轴对称的。 这 时，物体内各点都不会有环向位移，即不论 r 和 θ 取何值，都应有： 对这种情形，有 式（4-12）变为： 4-12（a） 平面轴对称问题小结 圆环或圆筒受均布压力 已知： 求：应力分布。 确定应力分量的表达式： （4－11） 边界条件： （a） 将式（4-11）代入，有： （b） 圆环或圆筒受均布压力 （b） 式中有三个未知常数，二个方程不通用确定。 对于多连体问题，位移须满足位移单值条件。 位移多值项 要使单值，须有：B = 0 ，由式（b）得 将其代回应力分量式（4-11），有： 圆环或圆筒受均布压力 （4-13） （1）若： ( 二向等压情况) （2）若： （压应力） （拉应力） 圆环或圆筒受均布压力 （3）若： （压应力） （压应力） （4）若： —— 具有圆形孔道的无限大弹性体。 边缘处的应力： 圆环或圆筒受均布压力 压力隧洞 问题： 厚壁圆筒埋在无限大弹性体内，受内压 q 作用，求圆筒的应力。 1. 分析： 与以前相比较，相当于两个轴对称问题： (a) 受内外压力作用的厚壁圆筒； (b) 仅受内压作用的无限大弹性体。 确定外压 p 的两个条件： 径向变形连续： 径向应力连续： 压力隧洞 （1）两端简支 (f) 其边界条件： 将其代入(f)式，有 将其代回(f)式，有 (3-3) 梁的挠曲线方程： ——