第四章 线性空间和欧氏空间.ppt

* 第四章 线性空间和欧氏空间 §4.1 向量空间 Rn及其子空间 一. 向量空间·基和维数 1. n维实(列)向量的全体 Rn = {[x1, x2, …, xn]T | ?R} 关于向量(即列矩阵)的加法和数乘运算 满足如下8条基本性质: 关于加法: (1) 交换律; (2) 结合律; (3) ??; (4) ? 关于数乘: (5) 1·? =?; (6) k(l?) = (kl)?; (7) (k+l)? = k? +l?; (8) k(?+?) = k? +k?. ? 第四章 线性空间和欧氏空间 §4.1 向量空间 Rn及其子空间 ? 2. 设V是Rn的非空子集, 且对向量的加法及数 乘封闭, 即 ??, ??V, k?R, 有?+??V, k??V 则称V是一个(实)向量空间. 设V是一个向量空间, U?V, 若U也构成一个 向量空间, 则称U为V是一个子空间. 仅含有零向量?的集合{?}关于向量的线性运 算也构成一个向量空间, 我们称之为零空间. Rn和{?}称为Rn的平凡子空间. 第四章 线性空间和欧氏空间 §4.1 向量空间 Rn及其子空间 3. 设V是一个向量空间, ?1, ?2, …, ?r是V中一 线性无关向量组, 并且V中任一向量都能由 ?1, ?2, …, ?r 线性表示, 则称(有序)向量组 ?1, ?2, …, ?r 是向量空间V的一组基. r称为V的维数. 记为维(V)或dim(V). 零空间没有基, 规定dim{?} = 0. 由定义, 对???V, ?唯一的一组有序实数 k1, k2, …, kr使得? = k1?1+k2?2+…+kr?r . 我们把r维向量[k1, k2, …, kr]T 称为? 在?1, ?2, …, ?r 这组基下的坐标. ? 第四章 线性空间和欧氏空间 §4.1 向量空间 Rn及其子空间 例1. Rn的基本向量组 e1 = 1 0 0 ··· 0 , e2 = 0 1 0 ··· 0 , …, en = 0 0 ··· 0 1 构成Rn的一组基, Rn中的任一向量?都能 由这组基线性表示. 且?在这组基下的坐标就是?本身. 这组基称为Rn的自然基. ? 第四章 线性空间和欧氏空间 §4.1 向量空间 Rn及其子空间 例2. 设A?Rm?n, b?Rm, b??, r(A, b) = r(A) = r, KA = {x | Ax = ?, x?Rn}, SB = {x | Ax = b, x?Rn}. 其中KA是向量空间, 称为齐次线性方程组 Ax = ? 的解空间, Ax = ? 的一个基础解系 就是KA的一组基, 因此dim(KA) = n ? r. 但SB不是向量空间. 事实上, SB中不含?. 在R3中, 过原点的平面是R3的2维子空间, 过原点的直线是R3的1维子空间, 而不经 过原点的直线与平面都不是向量空间. ? 第四章 线性空间和欧氏空间 §4.1 向量空间 Rn及其子空间 4. 设?1, ?2, …, ?s?Rn, 用L(?1, ?2, …, ?s)表示 ?1, ?2, …, ?s的一切线性组合所成的集合, 即 L(?1, ?2, …, ?s) = {k1?1+k2?2+…+ks?s | k1, k2, …, ks?R} 则L(?1, ?2, …, ?s)是 (包含{?1, ?2, …, ?s}的 向量空间中最小的) 一个向量空间, 我们称 之为由?1, ?2, …, ?s生成的子空间. 而?1, ?2, …, ?s称为L(?1, ?2, …, ?s)生成元. L(?1, ?2, …, ?s)的基可以取为?1, ?2, …, ?s 的任一极大无关组. ? 第四章 线性空间和欧氏空间 §4.1 向量空间 Rn及其子空间 特别地, 设矩阵A?Rn?s, A1, A2, …, As依次为A s个列向量. 则称L(A1, A2, …, As)为矩阵A的列 空间. dim(L(A1, A2, …, As)) = 秩(A). 因而dim(L(?1, ?2, …, ?s)) = 秩{?1, ?2, …, ?s}. 求L(A1, A2, A3, A4)的一组基和维数. 例3. 设A = [A1, A2, A3, A4] = 1 0 ?1 2 ?1 0 1 ?1 1 ?1 1 ?1 , ? 第四章 线性空间和欧氏空间 §4.1 向量空间 Rn及其子空间 1