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第五章 傅里叶变换 4/23/2012 1 傅立叶级数 周期函数的傅立叶级数展开 如果f (x)是一个周期函数(周期2l)，那么可以 用以下三角函数 系数计算公式 πx 2πx kπx ⎧ 1 l k x 1, cos , cos ,..., cos ,... a f (x) cos π dx l l l ⎪⎪k δk l −∫ l π π π ⎨ l x 2 x k x l sin , sin ,..., sin ,... 1 k x ⎪ π l l l bk ∫f (x) sin dx ⎪ l l 作为基本函数族展开为级数 : ⎩ −l 2, k 0 ∞ ⎧ f (x) a0 +∑⎛⎜ak cos kπx +bk sin kπx ⎞⎟ 其中δk ⎨1, k ≠0 k 1 ⎝ l l ⎠ ⎩ ∞ ( ) 或f (x) a + a cosω x +b sin ω x 0 ∑ k k k k k 1 其中ω kπ l，满足ω ⋅ l kπ，而k 、、分别对应于 、、 次谐波。 4/23/2012 / 2 2 0 1 2 0 1 2... 2 k k 函数族的正交性 如果两个函数f(x)和g(x)的乘积在[a,b]上积分等于0 ( 实变复值函数则改为f(x)和g(x)*乘积的积分) ，则 称函数f(x)和g(x)在[a,b]上正交。如果函数族中的 每两个不同的函数都正交，则称函数族正交。傅立 叶级数的基本函数族是正交函数族。 l