第五章 傅里叶函数.docVIP

第五章 傅里叶函数 §5.1 傅里叶级数 以上函数是将其展为幂级数，除此外，还有一个常见的情况是将函数展为三角级数（每一项是三角函数），三角函数是周期性。 一般是周期性函数展为三角级数 一．周期函数的傅里叶展开 1、周期是2的函数即f(x)=f(x+2)的三角展开为： f(x)=+ 其中：= = ………(1) = 2、周期为2的函数，即f(x)=f(x+)的三角展开和傅里叶展开： f(x)=+ 其中：系数：= =………(2) = 可将、合并后来表示：= k=0、1、2…… 其中：= 3、三角级数的性质 （1）、周期性 （2）、正交性： 指的是： = ……(3) = (3)、完备性 =0 略…… 完备方程： 当n时，对一致连续f(x)： = （4）、狄里希里定理（傅氏级数的收敛性） 周期函数若满足：（1）处处连续或在每个周期只有有限个第一关键断点。 （2）、处处连续或在每个周期只有有限个极值。 则展开的傅氏级数收敛，且： 级数和 = 二、奇函数和偶函数的傅里叶展开 1、若周期函数f(x)是奇函数，则因为傅氏展开成=0 =0 因为三角级数中，没有余弦级数项。 特点：奇函数在x=0和x=处为零：f(0)=f()=0 2、对于偶函数： 因为 =的被积函数是奇函数。 所以 =0 即级数只在余弦项： 特点：是正弦函数，所以==0 三、定义在有限区间的函数的傅里叶展开。 对于在有限区间上有定义的函数，可争取某种拓延的法 ，使其成为某种周期函数g(x),使g(x)在原区间等于f(x), 即可作傅里叶展开。 例如：在（0，）上的f(x)，可构造g(x) 使得在（0，）上有 则g(x)的展开式，显然有（0，）区间 此展开式等于f(x)。 例题1、已知f(x)=x ，.试将此函数分别在上 延拓为偶函数和奇函数： 解：（1） 令 （偶函数余弦展开） （2） 令g(x)=x （奇函数正弦展开） 四、傅里叶展开的意义： 周期函数f(x)的傅氏展开为： 可写成： f(x)= 其中： 是与k有关的常数，具有“图频率”的意义。 这样，傅氏级数的任意一项（第k项）的函数具有波形的意义，即，频率为的波形，且为k越大，所对应的波形频率越大。 在此意义下，傅里叶展开的意义可理解为将一个“混合波包”f(x)按波形展开——即将一个混合波分别为各种波，每一种波在f(x)中占的份额（权重）由或给出。 故，在物理学中，又将傅里叶展开成为傅里叶分析。 习题冲解： 3、在区间上定义，根据条件，把f(x)展为傅里叶级数。 分析：（1）、傅里叶级数要求f(x)是周期函数，故需对f(x)作周期拓延。 （2）、，条件要求f(x)在0，点分别是偶、奇拓延。 故：偶拓延 , 奇拓延 可作图： 在区间，f(x)为偶函数。所以，展开式中 则：当时， 时 n=0、1、2、…… 所以 例：定义在上的函数，要求，求其傅里叶展开。 §5.2 傅里叶积分与傅里叶变换 本节，将周期性函数的傅里叶展开拓展到非周期（全空间）函数的傅里叶展开。 一、实数形式的傅里叶变换。 设f(x)是一般非周期函数，如何将它作傅里叶展开呢？可按如下方式思考问题：