反对称矩阵的若干性质.pdfVIP

( ) 第 17 卷第 3 期 甘肃教育学院学报 自然科学版 Vol. 17 No. 3 　 ( ) 2003 年 7 月 Journal of Gansu Education College Natural Sciences J uly 2003 　 　　文章编号 : (2003) 反对称矩阵的若干性质 张海山 (首都师范大学 数学系 , 北京 100037) 摘 　要 :讨论了反对称矩阵的若干性质. 关键词 :矩阵 ;反对称矩阵 ;对称矩阵 ;秩 ;伴随矩阵 中图分类号:O151. 21 　　　文献标识码 :A 1 　基本性质 定义 1 　设 A 是一个 n 阶方阵, 如果 A T = - A , 则称 A 为反对称矩阵. 性质 1 　任何一个 n 阶矩阵A , 均可唯一表为一个对称矩阵与一个反对称矩阵之和, 即 A = B + C , 其中 B T = B , CT = - C. 证明 　见[ 1]. 性质 2 　若 A 是反对称矩阵, 则其主对角线上的元素全为零. 证明 　由定义 1 可知成立. 性质 3 　设 A , B 为 n 阶反对称矩阵, k 为常数, l 为正整数, 则 : ( ) 1 A ±B , kA , AB - BA 为反对称矩阵. ( ) 2 AB 为对称矩阵的充要条件为AB = BA . ( ) l l 3 当 l 为奇数时, A 为反对称矩阵, 当 l 为偶数时, A 为对称矩阵. 证明 　利用对称矩阵与反对称矩阵的定义直接验证即可. 性质 4 　设 A 是任一 n 阶矩阵, 则 A - A T 必为反对称矩阵. T T T T T T T T ( ) ( ) ( ) 证明 　因为 A - A = A - A = A - A = - A - A , 所以 A - A 为反对称矩 阵. 性质 5 　设 A 是奇数阶反对称矩阵, 则| A | = 0. 证明 　因为| A | = | A T | = | - A | = - | A | , 所以| A | = 0. 性质 6 　设 A 是 n 阶反对称矩阵, B 是 n 阶对称矩阵, 则 AB + BA 是 n 阶反对称矩阵. 证明 　由定义直接验证即可. 性质 7 　设 B 为 n 阶实矩阵, 则 B 为反对称矩阵的充要条件为对任意 n 维列向量 X , 均 有 X TB X = 0 . 证明 　必要性 : 因为 B 为反对称矩阵, 所以 X TB X = X T ( - B T) X = - ( X TB X) T = - X TB X , 从而 X TB X = 0 . 充分性 :令