数值分析第二版.pptVIP

定理7.3 设 其中， 定理7.1 区间[a,b]上权函数为?(x)的具有n个节点的数值积分公式代数精度不超过2n-1次. 取2n次多项式p(x)=(x-x1)2(x-x2)2…(x-xn)2,则有 §5 Gauss型求积公式 §5.1 Gauss型求积公式的一般理论 证明 若记x1,x2,…xn为求积节点,则积分公式为 所以,求积公式的代数精度不超过2n-1. 使求积公式具有2n-1次代数精度的节点x1,x2,…xn称为Gauss点,此时的插值型求积公式称为Gauss型求积公式. 由例8可见,求积公式 就是Gauss型求积公式, 取区间[a,b]上权函数为?(x)的正交多项式pn(x)的n个零点x1,x2,…xn作为求积节点,用Newton插值余项有误差 所以当?(x)是次数不超过2n-1的多项式时,R[?]=0. 就是区间[-1,1]上权函数?(x)=1的Gauss点. 下面用构造性方法给出Gauss点的求法. 对区间[a,b]上权函数为?(x)的积分 (2)求出pn(x)的n个零点x1,x2,…xn即为Gauss点. 由定理7.2可见,构造Gauss型求积公式的方法为: 例12 求积分 定理7.2 区间[a,b]上权函数为?(x)的正交多项式pn(x)的n个零点x1,x2,…xn恰为Gauss点. (1)求出区间[a,b]上权函数为?(x)的正交多项式pn(x). (3)计算积分系数 的2点Gauss公式. 解 按Schemite正交化过程作出正交多项式: p0(x)=1. P2(x)的两个零点为 故两点Gauss公式为 积分系数为 ，则Gauss公式的误差为 * 第7章 数值积分与数值微分 计算定积分有微积分基本公式 但很多函数找不到原函数，如 等。而实际上，有很多函数只知一些离散点的函数值，并无表达式，这就需要利用已知条件求出近似值。 §1 插值型求积公式 若已知定积分 的被积函数?(x)在节点a?x0x1…xn?b上的函数值 yk= ?(xk) ,k=0,1,2,…,n 所以有 设?(x)在[a,b]具有n+1阶连续导数,则有 则可以构造n次Lagrange插值多项式Ln(x),因为 ?(x)=Ln(x)+Rn(x) 其中 (7.2) 求积公式(7.1)称为求积公式的一般形式.若求积公式中积分系数Ak满足(7.2),则称之为插值型求积公式. 为了简化计算,取等距节点xk=a+kh,(k=0,1,2,…,n, 则有 令 则有 称式(7.4)为Newton-Cotes公式. 例1 设?(x)?C2[a,b],求n=1时的Newton-Cotes公式并估计误差. 解 计算Cotes系数 于是有 从几何上看: 所以公式 ,则有误差估计 若记 o x y a b 也称为梯形公式,记为T. =T 例2 设?(x)?C4[a,b],求n=2时的Newton-Cotes公式并估计误差. 解 计算Cotes系数 y=?(x) 称之为Simpson公式或抛物线公式，记为S. 构造三次多项式H3(x),使满足 H3(a)=?(a) ,H3(b)=?(b), 于是有 容易证明Simpson公式对不高于三次的多项式精确成立,即 这时插值误差为 =S. 于是有 若记 则有 由于构造Newton-Cotes公式需要Cotes系数,将其列表如下: 1 2 3 4 5 6 7 8