北京四中高中数学-函数y=Asin(ωx+φ)的图象提高知识讲解-新人教A版必修1.docVIP

的图象与性质 【学习目标】 1.了解对函数图象变化的影响，并会由的图象得到的图象； 2．明确函数（、、为常数，）中常数、、的物理意义，理解振幅、频率、相位、初相的概念。 【要点梳理】 要点一：用五点法作函数的图象 用“五点法”作的简图，主要是通过变量代换，设，由z取来求出相应的x，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象. 要点诠释：用“五点法”作图象的关键是点的选取，其中横坐标成等差数列，公差为. 要点二：函数中有关概念 表示一个振动量时，A叫做振幅，叫做周期，叫做频率，叫做相位，x=0时的相位称为初相. 要点三：由得图象通过变换得到的图象 1.振幅变换： (A0且A≠1)的图象可以看作把正弦曲线上的所有点的纵坐标伸长(A1)或缩短(0A1)到原来的A倍得到的(横坐标不变)，它的值域[-A，A]A，最小值是-A.若A0可先作y=-Asinx的图象，再以x轴为对称轴翻折.A称为振幅. 2.周期变换： 函数的图象，可看作把正弦曲线上所有点的横坐标缩短或伸长到原来的倍(纵坐标不变).若则可用诱导公式将符号“提出”再作图.决定了函数的周期. 3.相位变换： 函数(其中)的图象，可以看作把正弦曲线上所有点向左(当＞0时)或向右(当＜0时)平行移动个单位长度而得到.(用平移法注意讲清方向：“左加右减”). 要点诠释：一般地，的图象可以看作是用下面的方法得到的：y=sinx的图象上所有的点向左(0)或右(0)平行移动个单位；或伸长到原来的倍(纵坐标不变)；3) 再把所得各点的纵坐标伸长(A1)或缩短(0A1)到原来的A倍(横坐标不变). 【典型例题】 类型一：三角函数的图象 例1.画出函数y=sin(x+)，x∈R的简图. 【解析】 法一：(五点法)： 列表 x x+ 0 sin(x+) 0 1 0 -1 0 描点画图： 法二：(图象变换) 函数y=sin(x+)，x∈R的图象可看作把正弦曲线上所有的点向左平行移动个单位长度而得到. 【总结升华】“五点法”作图时，五点的确定应先令分别为0、、、、，解出x，从而确定这五点。 例2.画出函数y=3sin(2x+)，x∈R的简图. 【解析】(五点法)由，得，列表： x 2x+ 0 3sin(2x+) 0 3 0 -3 0 描点画图： 这种曲线也可由图象变换得到： 【总结升华】由y=sinx的图象变换出的图象一般有两个途径，只有区别开这两个途径，才能灵活进行图象变换. 途径一：先平移变换再周期变换(伸缩变换). 先将y=sinx的图象向左(＞0)或向右(＜0)平移个单位，再将图象上各点的横坐标变为原来的倍，便得的图象. 途径二：先周期变换(伸缩变换)再平移变换. 先将y=sinx的图象上各点的横坐标变为原来的倍，＞0)或向右(＜0)平移个单位，便得的图象. 举一反三： 【变式1】已知函数， （1）用五点法画出函数图象； （2）指出它的图象与函数的图象间的关系。 【解析】 （1）由，列表如下： x 0 y 0 0 0 描点画图，如下图所示： 把之间的图象向左、右扩展，即可得到它的简图。 （2）该函数的图象将函数的图象上每一点的纵坐标变为原来的倍，横坐标不变。 【总结升华】函数的图象，可以看作是把图象上所有点的纵坐标伸长（当A＞1）或缩短（当0＜A＜1时）到原来的A倍（横坐标不变）而得到的。 【变式2】如何由y=sin x的图象变化到的图象？ 【解析】 解法一： 。 解法二： 。 【总结升华】本题用了由函数y=sin x（x∈R）的图象变换到函数（x∈R）的两种方法，要注意这两种方法的区别与联系。 类型二：三角函数的解析式 例3.如图，它是函数，的图象，由图中条件，写出该函数解析式. 【思路点拨】由图可以确定图象的振幅、周期，由此求出，再由题意知，点(，5)在此函数的图象上，由此求出. 【解析】 A=5， 由点(，5)在此函数的图象上，则 法一：(单调性法) ∵点在递减的那段曲线上 ∴ 由得 ∴ ∵. 法二：(最值点法) 将最高点坐标(，5)代入得 ∴ ∴取. 法三：(起始点法) 函数的图象一般由“五点法”作出，而起始点的横坐标x正是由解得的，故只要找出起始点横坐标x0，就可以迅速求得角.由图象求得，∴ 法四：(平移法) 由图象知，将的图象沿x轴向左平移个单位，就得到本题图象，故所求函数为，即. 【总结升华】错解： 将代入该式得：， 由，得 ∵或 ∴或. 代入点坐标时，通常利用一些已知点(最高点、最低点或零点)坐标带入解析式，再结合图形的上升、下降趋势变化求出. 举一反三： 【变式1】函数的图象如下图，确定A、ω、的值，确定其一个函数解析。 【思路点拨】 本题主要考查正弦型函数解析式的求法及识图能力