北京四中高中数学-两角和与差的正弦、余弦和正切公式提高知识讲解-新人教A版必修1.docVIP

两角和与差的正弦、余弦和正切公式(提高) 【学习目标】 1．能以两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系. 2．掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式，并能灵活运用这些公式进行简单的恒等变换. 【要点梳理】 要点一：两角和的余弦函数 两角和的余弦公式： 要点诠释： (1)公式中的都是任意角； (2)和差角的余弦公式不能按分配律展开，即； (3)公式使用时不仅要会正用，还要能够逆用，在很多时候，逆用更能简捷地处理问题.如：由能迅速地想到 ； (4)第一章所学的部分诱导公式可通过本节公式验证； (5)记忆：公式右端的两部分为同名三角函数积，连接符号与等号左边角的连接符号相反. 要点二：两角和与差的正弦函数 两角和正弦函数 在公式中用代替，就得到： 两角差的正弦函数 要点诠释： (1)公式中的都是任意角； (2)与和差角的余弦公式一样，公式对分配律不成立，即； (3)和差公式是诱导公式的推广，诱导公式是和差公式的特例.如 当或中有一个角是的整数倍时，通常使用诱导公式较为方便； (4)使用公式时，不仅要会正用，还要能够逆用公式，如化简时，不要将和展开，而应采用整体思想，进行如下变形： 这也体现了数学中的整体原则. (5)记忆时要与两角和与差的余弦公式区别开来，两角和与差的余弦公式的等号右端的两部分为同名三角函数积，连接符号与等号左边角的连接符号相反；两角和与差的正弦公式的等号右端的两部分为异名三角函数积，连接符号与等号左边角的连接符号相同. 要点三：两角和与差的正切函数 利用已有的和(差)角的正弦、余弦以及同角关系式推导. 要点诠释： (1)公式成立的条件是：； (2)公式的变形： (3)两角和与差的正切公式不仅可以正用，也可以逆用、变形用，逆用和变形用都是化简三角恒等式的重要手段，如就可以解决诸如的求值问题.所以在处理问题时要注意观察式子的特点，巧妙运用公式或其变形，使变换过程简单明了. (4)公式对分配律不成立，即. 要点四：理解并运用和角公式、差角公式需注意的几个问题 1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式之间的内在联系 （1）掌握好表中公式的内在联系及其推导线索，能帮助学生理解和记忆公式，是学好本部分的关键。 （2）诱导公式是两角和、差的三角函数公式的特殊情况。中若有为的整数倍的角时，使用诱导公式更灵活、简便，不需要再用两角和、差公式展开。 2．重视角的变换 三角变换是三角函数的灵魂与核心，在三角变换中，角的变换是最基本的变换，在历年的高考试题中多次出现，必须引起足够的重视。常见的角的变换有： ；；等，常见的三角变换有：切化弦、等。 要点五：辅助角公式 1．形如的三角函数式的变形： = 令，则 = = （其中角所在象限由的符号确定，角的值由确定，或由和共同确定。） 2．辅助角公式在解题中的应用 通过应用公式=（或=），将形如（不同时为零）收缩为一个三角函数（或）。这种恒等变形实质上是将同角的正弦和余弦函数值与其他常数积的和变形为一个三角函数，这样做有利于函数式的化简、求值等。 【典型例题】 类型一：两角和与差的三角函数公式的正用 例1．已知，，且、均为第二象限角，求、和。 【思路点拨】利用同角三角函数关系式确定、的值，然后利用两角和与差的正弦、正切公式求值。 【答案】 【解析】 ∵，，且、均在第二象限， 故， ， 故 。 。 = = 【总结升华】已知，的某种三角函数值，求的正弦和正切，先要根据平方关系求出、的另一种三角函数值。求解过程中要注意先根据角的范围判断所求三角函数值的符号，然后再将求得的函数值和已知函数值代入和角或差角的三角函数公式中求值。 举一反三： 【变式1】已知，，，是第三象限角，求、的值。 【答案】 【解析】 由，得 ， 又由，为第三象限角得 ， ∴， 。 例2．（1）已知，，且，求以及的值； （2）已知，，求，的值。 【思路点拨】（1）分析所给的两个已知角和所求的角、之间有关系、。（2），。 【答案】（1）1/3 1（2） 【解析】（1）， 。 ∵，，， ∴，。 ∴，∴。 （2）。 。 【总结升华】 已知三角函数值求角，要对所给角的范围进行讨论，尽量化到它的一个单调区间上，必要时可对角的范围进行适当的缩小。 举一反三： 【变式1】（1）求的值； （2）已知求的值。 【答案】（1）（2） 【解析】 （1） = (2), 又 = = 【变式2】如图，在平面直角坐标系中，以轴为始边做两个锐角，它们的终边分