北京四中高中数学-两角差的余弦公式基础知识讲解-新人教A版必修1.docVIP

两角差的余弦公式(基础) 【学习目标】 1．经历用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程，进一步体会向量方法的作用. 2．通过简单运用，使学生初步理解公式的结构及功能，为建立其它和（差）公式打好基础. 3.通过教学活动，使学生经历发现、猜想、论证的数学化的过程，并体验到数学学习的严谨、求实的科学态度，逐步培养学生探索问题的精神。 【要点梳理】 要点一：两角差的余弦公式 1．两角差的余弦公式的推导： （1）如图，在平面直角坐标系内作单位圆，以为始边作角，它们的终边与单位圆的交点分别为，则 由向量数量积的概念，有 ，结合向量数量积的坐标表示，有 所以= （*） （2）由以上的推导过程可知，是任意角，则也应为任意角，但由两个向量数量积的意义，（*）中的。为此，我们讨论如下： 由于是任意角，由诱导公式，总可以找到一个角，使。 ①若，则。 ②若，则，且 由以上的讨论可知，对于任意的，都有： = 2．公式的记忆 右端为的同名三角函数积，连接符号与左边角的连接符号相反。 要点诠释： (1)公式中的都是任意角。 (2)差角的余弦公式不能按分配律展开，即。 (3)要正确地识记公式结构，公式右端的两部分为同名三角函数积，左端为两角差的余弦。 要点二：两角差余弦公式的逆向应用和活用 1．逆用 = 要点诠释： 公式使用时不仅要会正用，还要能够逆用，在很多时候，逆用更能简捷地处理问题.如：由能迅速地想到 。 2．角变换后使用 。 3．移项运用 4．特殊化使用 5．以代 即 【典型例题】 类型一：利用差角的余弦公式进行证明 例1．求证： （1） （2）代，利用两角差的余弦公式展开。（2）利用及两角和的余弦公式可证得。 【证明】（1）= = （2） = = = = 举一反三： 【变式1】 证明： = = = = = 类型二：利用两角差的余弦公式化简三角函数式 例2．化简： 【答案】 0 【解析】 原式 。 【总结升华】化简三角函数式是为了更清楚地显示式中所含量之间的关系，以便于应用公式。对于三角函数式的化简，要求：（1）能求出值的应求出值；（2）使三角函数的种类最少；（3）使项数尽量少；（4）尽量使分母中不含有三角函数；（5）尽量使被开方数不含有三角函数。对于本题我们看到，化简前与化简后相比，化简后显然简洁得多，而且关系也清晰得多。 举一反三： 【变式1】化简：。 【答案】 【解析】 原式= = = = = 类型三：利用差角的余弦公式求值 例3．求值： （1）（2）－35°)·cos(25°+)+sin(－35°)·sin(25°+)； 【思路点拨】（1）利用求解（2）利用两角差的余弦公式（3）把－35°和25°+看作一个整体，利用两角差的余弦公式。 【答案】（1）（2）（3） 【解析】 （1） = = （2）原式 （3）原式。 【总结升华】两角差的余弦公式中，，可以是单个角，也可以是两个角的和或差，在运用公式时常将两角的和或差视为一个整体，如（3）中的（）可视为一个整体。分析题目特点，构造两角的差，然后应用两角差的余弦公式，是常见题型。 举一反三： 【变式1】求值：cos15°cos105°+sin15°sin105° 【解析】原式=cos(15°－105°)=cos(－90°)=0 【变式2】求值： 【解析】原式= = = = = 例4．已知 【思路点拨】若展开，又由，从而可得出关于的方程求解. 经观察：，故又可直接由代入求解. 【答案】 【解析】由 由 故 【总结升华】 仔细分析角与角之间的关系是利用两角差的余弦公式求值的关系，解这类题时要“一看角、二看名、三看结构”。 举一反三： 【变式1】已知，，求。 【答案】 【解析】 ∵，，∴， 则。 【总结升华】依据角的范围确定函数的符号，再利用差角公式求解，是一种常见的题型。 【变式2】已知，，。求。 【答案】 【解析】 由题意得，。 ∴， ， ∴ 。 1