深圳市2013届高三第二次调研考试（数学理）.docVIP

2013 年深圳市高三年级第二次调研考试 数学（理科） 2013.4 一、选择题 1．为虚数单位，则 A．0 B． C． D． 2．已知集合，满足条件的集合共有 A．2个 B．2个 C．3个 D．4个 3．下列四个函数中，既是定义域上的奇函数又在区间内单调递增的是 A． B． C． D． 4．一支田径队有男运动员 56 人，女运动员 42 人，若用分层抽样的方法从全体运动员中抽出一个容量为 28 的样本，则样本中女运动员的人数为 A．9 B．10 C．11 D．12 5．已知双曲线的渐近线方程为，则以它的顶点为焦点，焦点为顶点的椭圆的离心率等于 A． B． C． D．1 6．已知，则是的 A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件D．既非充分也非必要条件 7．由曲线与直线所围成的平面图形（图1中的阴影部分）的面积是 A．1 B． C． D． 8．在的展开式中，含的系数是 A．10 B．15 C．20 D．25 二、填空题（本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分） （一）必做题：第9、10、11、12、13题为必做题。 9．某简单组合体的三视图如图2，其中正视图与侧视图相同（尺寸如图，单位：cm），则该组合体的体积是 （结果保留） 10．若直线与曲线相切，则 。 11．执行图3中程序框图表示的算法，其输出的结果为 。（注：框图中的“”，即为“←”或为“：”） 12．已知向量，是平面区域内的动点，是坐标原点，则 的最小值是 。 13．在 的方格中进行跳棋游戏。规定每跳一步只能向左，或向右，或向上，不能向下，且一次连续行走的路径中不能重复经过同一小方格。设 表示从左下角“○”位置开始，连续跳到右上角“☆”位置结束的所有不同路径的条数。如图 4，给出了 时的一条路径。则 ； 。 （二）选做题：第14、15题为选做题，考生只能从中选做一题。 14．在极坐标系中，圆上的点到直线的距离的最大值是 。 15．如图，是圆外一点，为切线，为切点，割线经过圆心，，则 。 三、解答题 16．已知中，分别为角的对边，，且。 （1）求角的大小；（2）求。 17．一个箱中原来装有大小相同的 5个球，其中 3个红球，2个白球．规定：进行一次操作是指“从箱中随机取出一个球，如果取出的是红球，则把它放回箱中；如果取出的是白球，则该球不放回，并另补一个红球放到箱中。” （1）求进行第二次操作后，箱中红球个数为4的概率； （2）求进行第二次操作后，箱中红球个数的分布列和数学期望。 18．如图6，已知四边形是矩形，，三角形是正三角形，且平面平面。 （1）若是的中点，证明：； （2）求二面角的余弦值。 19．已知数列满足：，且对任意和均为等差数列。 （1）求的值； （2）证明：和均成等比数列； （3）是否存在唯一的正整数，使得恒成立？证明你的结论。 20．已知动点到点的距离与到直线的距离之和为5。 （1）求动点的轨迹的方程，并画出图形； （2）若直线与轨迹有两个不同的公共点，求的取值范围； （3）在（2）的条件下，求弦长的最大值。 21．定义，其中。 （1）设，函数，试判断的定义域内零点的个数； （2）设，函数，求的最小值； （3）记（2）中最小值为，若是各项均为正数的单调递增数列，证明：。