第九次课 2学时.doc

第九次课 2学时 本次教学重点： 数学期望和方差定义与性质，常见分布的数学期望与方差 本次教学难点： 连续型随机变量方差的计算 本次教学内容： 第三章 随机变量的数字特征 数学期望与方差 在前面的课程中，我们讨论了随机变量及其分布，如果知道了随机变量X的概率分布（分布律，密度函数），那么X的全部概率特征也就知道了. 然而，在实际问题中，概率分布一般是较难确定的. 而在一些实际应用中，人们并不需要知道随机变量的一切概率性质，只要知道它的某些数字特征就够了.例如，对一射手的技术评定，除了要了解命中环数的平均值，同时还必须要考虑稳定情况，命中点分散还是集中？ 例1 设甲, 乙两射击手在同样条件下进行射击，命中环数是随机变量，分别设为。假定由历史记录可得到他们分别有下面的分布列。 试问如何评定他们技术的优劣. 解：由射手甲的分布列可知，他发出100粒子弹，约有50粒子弹命中10环，20粒命中9环，10粒命中8环，10粒命中7环，5粒命中6环，5粒命中5环，没有脱靶的。这样平均起来，甲命中环数为 （环） 上式记为，对上式稍作变化得 (3.1.1) （3.1.1）式可作为射手甲得理论平均值，是加权平均。同理可得射手乙的理论平均值: (3.1.2) 由(3.1.1)，(3.1.2)可知，从理论平均命中环数看，射手甲的技术水平高于射手乙。同时，这种反映随机变量取值“平均”意义特性的数值，恰好是这个随机变量取得一切可能值与相应概率乘积的和。即若随机变量取值为，取这些值相应的概率为，则反映“平均”意义的数字特征为，并把它叫做的平均值。 对于射手甲乙的技术水平，除了上述从平均值来看，还可从射击命中环数的集中或离散程度来考虑。由上述，射击手甲命中环数平均值为8.85，因此他命中10环与平均值8.85的偏离值为10-8.85=1.15，偏离平方和为。（采用平方是为了保证一切差值X-E(X)都起正面的作用，以免相互抵消）同样可得，根据平均值的定义，射手甲射击的平均的平方的偏差值记为，则 （3.1.3） 同理可得，射手乙射击的平均的平方的偏差值记为， （3.1.4） 比较（3.1.3）（3.1.4）可得，从平方偏离程度看，甲技术优于乙。 把（3.1.3）（3.1.4）抽象成一般式，得到若离散型随机变量取值为，取这些值相应的概率为，则反映“平均”平方偏离值特性的数值为 一、离散型随机变量与连续型随机变量的数学期望与方差 定义 设是离散型随机变量的概率分布为 如果绝对收敛, 即，则定义的数学期望(又称均值)为 若，记，称为的方差 利用数学期望及方差的定义, 易得计算方差的一个简化公式: . 事实上， ?? 几种常用分布的期望 1、?????? 退化分布 ?设的分布列为 ，则 2、?????? 两点分布 设 的分布列为 1? 0 p? 1-p ? 则 3、二项分布? 设～b(k,b,p)?? 则? 分布列为?????????? P（）=?????? k=0.1.2…n（记） 4、几何分布? 设～g(k,p)???分布列为 记 ? 5、Poisson分布? 设～ 则 分布列为 定义 设是连续型随机变量, 其密度函数为,如果 绝对收敛, 定义的数学期望为 若 则称 为随机变量的方差 例1:设服从柯西分布，其密度函数为 问是否存在？ 解：因为 所以不存在。 简化计算公式 事实上 几种常用分布的期望 均匀分布 设，则 这个结果是显然的。因为在上均匀分布，它取值的平均值当然应该在的中间，也就是。 指数分布 设，则 这个结果表明指数分布的数学期望恰等于其参数的倒数。 正态分布 设，则，事实上 这表明正态分布的数学期望恰等于其第一个参数。 4）分布 设即的密度函数为 这里用到为的分布密度函数，因而有，再利用函数的性质知道即为参数为的指数分布，因而。 一般的随机变量的数学期望与方差的定义和性质 定义 设是一随机变量, 其分布函数为,如果 则记为的数学期望 若 则称 为随机变量的方差 定理3.1.1 （随机变量函数的数学期望）设为随机变量的分布函数，为R上的连续函数，若，则的数学期望存在，且 性质1 设随机变量有数学期望，则（a,b均为常数）的数学期望是 特别当a=0时，E(b)=b 性质2设为一随机变量，。则及存在且 即 ——许瓦兹不等式一个特殊形式 性质3设随机变量的分布函数为，方差存在，则（a,b均为常数）的方差是 特别当a=0时，D(b)=0 性质4 函数，当时达到最小值 综合期望和方差的性质，常用的可归纳为： 数学期望的性质 性质1、若则的数