第一课时 任意角的三角函数的定义 .doc

第一课时 任意角的三角函数的定义? 知识与技能： 1.掌握任意角的三角函数的定义； 2.已知角α终边上一点，会求角α的各三角函数值； 3.记住三角函数的定义域、值域，诱导公式（一）。 过程与方法： 1理解并掌握任意角的三角函数的定义； 2树立映射观点，正确理解三角函数是以实数为自变量的函数； 3通过对定义域，三角函数值的符号，诱导公式一的推导，提高学生分析、探究、解决问题的能力。 情感态度与价值观： 1使学生认识到事物之间是有联系的，三角函数就是角度（自变量）与比值（函数值）的一种联系方式 2学习转化的思想，培养学生严谨治学、一丝不苟的科学精神； 教学重点：三角函数的定义；三角函数的定义域及其确定方法；三角函数值在各个象限内的符号以及诱导公式一 教学难点：任意角三角函数的定义． 一．复习引入 思考：我们已经学过锐角三角函数，知道它们都是以锐角为自变量，以比值为函数值的函数，你能用直角坐标系中角的终边上点的坐标来表示锐角三角函数吗？ 结论：在Rt△ABC中，设A对边为a，B对边为b，C对边为c，锐角A的正弦，余弦，正切依次为： 锐角三角函数就是以锐角为自变量，以比值为函数值的函数 思考1:角推广后，这样的三角函数的定义不再适用，我们必须对三角函数重新定义. 你能用直角坐标系中角的终边上点的坐标来表示锐角三角函数吗? 如图,设锐角的顶点与原点重合,始边与轴的正半轴重合,那么它的终边在第一象限.在的终边上任取一点,它与原点的距离.过作轴的垂线,垂足为,则线段的长度为,线段的长度为. 则; ; . 思考2：对于确定的角，这三个比值是否会随点在的终边上的位置的改变而改变呢？为什么? 根据相似三角形的知识，对于确定的角，三个比值不以点P在的终边上的位置的改变而改变大小. 我们可以将点P取在使线段的长的特殊位置上，这样就可以得到用直角坐标系内的点的坐标表示锐角三角函数： ; ; . 单位圆:在直角坐标系中,我们称以原点为圆心,以单位长度为半径的圆称为单位圆. 上述P点就是的终边与单位圆的交点, 锐角的三角函数可以用单位圆上点的坐标表示. 二新课讲授 1.任意角的三角函数的定义 结合上述锐角的三角函数值的求法,我们应如何求解任意角的三角函数值呢? 显然,我们可以利用单位圆来定义任意角的三角函数. 如图,设是一个任意角,它的终边与单位圆交于点,那么: (1)叫做的正弦(sine),记做, 即 ； （2）叫做的余弦(cossine),记做, 即； （3）叫做的正切(tangent),记做, 即. 思考3:在上述三角函数定义中,自变量是什么?对应关系有什么特点,函数值是什么? 说明:(1)当时，的终边在轴上，终边上任意一点的横坐标都等于，所以无意义,除此情况外，对于确定的值，上述三各值都是唯一确定的实数. (2)当是锐角时，此定义与初中定义相同；当不是锐角时，也能够找出三角函数，因为，既然有角，就必然有终边，终边就必然与单位圆有交点，从而就必然能够最终算出三角函数值. (3)正弦,余弦,正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，我们将这种函数统称为三角函数. 2.利用定义求角的三角函数值 例1.求的正弦,余弦和正切值. 解：在直角坐标系中，作, 的终边与单位圆的交点坐标为，所以 思考：如果将变为呢？ 例2．已知角的终边过点，求角的正弦,余弦和正切值. 思考：如何根据例题1解答 思考：一般的，设角终边上任意一点的坐标为（x,y）,它与原点的距离为r,则 ，你能自己给出证明吗？ 思考 如果将题目中的坐标改为（-3a，-4a）,题目又应该怎么做？ 3．三角函数的定义域和函数值符号 探究： 请根据上述任意角的三角函数定义，先将正弦，余弦和正切函数在弧度制下的定义域填入下表，再将这三种函数的值再各象限的符号填入下表 函 数 定 义 域 例3, 求证：当下列不等式组成立时，角为第三象限角，反之也对 证明：如果成立，那么角的终边可能位于第三或第四象限，也可能与轴的非负半轴重合;如果，所以角的终边可能位于第一或第三象限 所以，角的终边只能位于第三象限，时第三象限角 反过来，请同学们自己证明 变式训练（一）判断下列各式的符号 1. 2. （二）求函数的定义域 4.诱导公式一 由三角函数的定义，可以知道，终边相同的角的同一三角函数的值相等，由此得到一组公式 利用公式一，可以把任意角的三角函数值，转化为求0到的三角函数值 例4.确定下列三角函数值的符号： （1） （2） （3） （4） 变式训练（一）求下列各式的值 1. 2. 三.归纳小结： 任意角的三角函数的定