第一编：数形结合.doc

第一编：数形结合 §1.1数和形是数学中最基本的两个概念，也是数学发展进程中的两大支柱。 自从笛卡儿把坐标和变量引入数学，就为数形的结合与转化提供可能，给数学提供了一个双向工具。几何概念可以用代数表示。反之给代数语言以几何解释，从而直观的掌握这些抽象的语言的意义，并得到启发去探索新的结论，因此可以说“数”和“形”是共存于同一个体中的事物的两个侧面，是相互联系的，这种数与形相互联系的思想就是数形结合思想，它是数学中及其重要的思想。著名数学家华罗庚说：“数与形本是相倚依，怎能分做两边飞，数缺形时少直觉，形少数时难入微。”他还风趣地说：“数形结合百般好，隔裂分家万事非。”并亲切地教导我们不要“得意忘形”。在数学中，抽象的数学事实只有与直观的图形结合起来，才能使学生学得更扎实，记得更清楚，牢固，从而达到看图说话的效果。著名数学家拉格朗日指出：“只要代数同几何分道扬镳，它们的进展就缓慢，它们的应用就狭窄，但是当这两门科学结合成伴侣时，它们就互相吸取新鲜的活力，从那以后就以快速的步伐走向完善。”中学数学知识中，用数轴上的点表示整数或分数，在数轴上表示不等式的解集，利用数轴确定一元一次不等式的解集，数轴上的点与实数一一对应，把函数用图形来表示，借助图形，直观地分析函数的一些性质和特点，用图形表示数列，用方程表示曲线等等内容，都体现了数形结合的思想，教学中对起加以揭示是必要的，而且揭示清楚，使学生逐步理解，掌握这种思想，这对于提高数学教学在发展学生的逻辑思维和形象思维方面的效果和影响是十分重要的。运用数形结合的思想解题，不仅能够有效的解决问题，而且能够使学生认识问题的本质，加深对数学知道的理解，提高学生的解题能力，解题经验告诉我们，当寻找解题思路发生困难的时候，不妨从数形结合的观点去探索；当解题过程的复杂运算使人望而生畏时，不妨从数形结合的观点去开辟新路；当需要经验的正确性时，不妨从数形结合的观点去验证。它常给我们带来满意的效果，加强这方面的训练，对巩固基础，提高解题能力是重要的一环。美国数学家斯蒂恩说：“如果一个特定的问题可以转化为一个图形，那么思想就整体地把握了问题，并能创造性思索问题的解法。”数形结合思想其特点是由数思形，将抽象的数式转化成直观的图形，以形助数。其实质是将抽象的数学语言与直观图形结合起来，使抽象的思维和形象思维结合起来，实现抽象概念与具体形象的联系和转化，化难为易，话抽象为直观。 §1.2数形结合的类型 数与形是数学问题的两种表现，其中数较抽象，形较直观，两者各有特色，但它们都是数学问题的本质的反映，因此将数、形、结合。取两者之长，便有助于揭示所论问题的本质，并找到解决问题的有效途径。数形结合主要包含“以形助数”、“以数辅形”和“数形互动”三个方面。 1.2.1、通过坐标系统的建立，引入参变量，化静为动，以动求解； 1.2.2、数形结合体现在解题中，就是许多代数问题，可以用几何方法来解决，许多几何问题也可用代数方法来处理。 一般而言，代数问题较抽象，几何问较直观。几何问题代数化，原则上可以通过建立坐标系引进坐标来实现，而抽象的代数问题几何化则无一定的规则，但我们通过不断的解题实践来加以认识，代数问题与几何问题的结合与转化，特别是用“形”来解决“数”的问题，有时就会显得解决的“妙”。这就是常说的“以形助数”。 1.2.3、构造几何模型是当从数的角度难以下手的，通过挖掘所论问题的几何意义并构造出相适应的辅助图形以帮助解题的方法。 §1.3数形结合在各分支的应用 1.3.1数形结合在集合问题中的应用 在解决集合问题时，有一些常用的方法如数轴发取交并集、文氏图法以及借助函数图像等，是中学数学中的一类重要的题型，处理这类问题的常用方法是先观察题目已知条件，若能充分注意到集合的性质，利用数形结合思想，形象地表示出各数量间的联系，从而求解，则往往可以形成较为简洁的解法。 1.1 借助文氏图 文氏图主要适用于离散型（元素各自孤立）的集合以及单纯的抽象型集合，但仍要注意问题的全面性，考虑问题要面面俱到，紧抓已知条件，准确的画出文氏图，简便解题。 例1:已知集合， ，求集合。 分析：由题目已知条件可以很明显的看出，此题是交并集集合问题，首先我们应该依此解出集合，观察可知解出集合里都是数字，那么自然而然的，我们采取文氏图法来解决问题。 解：； ； 如右图，易得。 1.2 借助数轴 数轴主要适用于解决与不等式相关的集合问题，数轴是学生很早就已经接触比较简便的图形，但是此类题型在用数轴的时候，最容易忽视空集的情况，这里做出强调。 例2:已知集合，，， ，求集合。 分析：由题目的已知条件可以看出，题目是与不等式相关的集合问题，并且也是集合的交并集问题，我们很容易想到要借助数轴解题，但需要进行非空的讨论