三次函数图象性质的研究和应用.pdfVIP

维普资讯 2005年第 3期 河北理科教学研究 问题讨论 三次函数 图象性质的研究和应用 浙江省绍兴一中 屠丰庆 312000 随着新教材的使用和推广，使高中学生 函数无极值 ． 用导数来解决高次和无理函数的性质成为现 1．3 三次方程的根 实，三次函数的有关 问题作为典型在近几年 如图所示 ： 的高考和竞赛试题中不断出现，因此有必要 I．若 b—3nc Jr 对三次函数进行研究．文 [1]用初等的方法解 0，当 y极大值=f(1) 决了三次函数 图象的对称 中心问题，本文试 0且 y极小值=f(X,2)而 x f一 用导数对 Y=a．g+6 +c +d(a≠0)进行 0时，方程 ax,＼+3 ／XI· 一： 较全面的研究 ，并加以适当的应用 ． +6 +cx,+d=0有 | 1 Y= +bx + +d(a0)的图象和性 三个实根 3，4，5， 图 1 质 不妨设 3 4 5 1．1 三次函数的单调性 JI Il 分析：因为 ()=3ax,+2bx+c，所 l x |一 以A=4b—12ac=4(b—30c)，于是 ： l＼ x÷ ＼ ／一 I．当 b—3口c0时，方程 ()=0 | x2x 有两个不同的实根 1，-g2(不访设 1 2)， ① ② 又因为 a0，所以Y=ag．+6 +c．g+d(a 图 2 0)在(一o。，1)或 (2，+o。)上单调增加； JI JI 在 [1，g2]上单调减少； l ／～ Ⅱ．当b —3口c=0时，方程 ()=0 J 有两个相同的实根 ，且导函数恒大于等于 ． ． | x、 X2 一 0，所以Y=a．g3+6 +c +d(a0)在 R ① ② 上单调增加 ； 图 3 Ⅲ．当b —3口c0时，方程 ()=0 (图1)；当y极大值= 没有实根，且导函数恒大于 0，所 以Y：ax, f(1)=0时，方程有 +6 +cx,+d(a0)在 R上单调增加． 两个实根 1，3且 1 xj1，，) 1．2 三次 函数 的极值 ： ～ 3(图 2① )；当 由上可知：I．当 b—30c0时，三次函 y极小值=f (X,2)