典型例题一.doc

典型例题一 例1　已知，求证 证明：∵　， 　　　　　， 　　　　　，　三式相加，得 ，即 说明：这是一个重要的不等式，要熟练掌握． 典型例题二 例2 已知是互不相等的正数， 求证： 证明：∵， ∴ 同理可得：． 三个同向不等式相加，得 ① 说明：此题中互不相等，故应用基本不等式时，等号不成立．特别地，，时，所得不等式①仍不取等号． 典型例题三 例3 求证． 分析：此问题的关键是“灵活运用重要基本不等式，并能由这一特征，思索如何将进行变形，进行创造”． 证明：∵， 两边同加得． 即． ∴． 同理可得：， ． 三式相加即得． 典型例题四 例4 若正数、满足，则的取值范围是　　　． 解：∵，　∴，令，得， ∴，或（舍去）． ∴，∴　的取值范围是 说明：本题的常见错误有二．一是没有舍去；二是忘了还原，得出．前者和后者的问题根源都是对的理解，前者忽视了后者错误地将视为． 因此，解题过程中若用换元法，一定要对所设“元”的取值范围有所了解，并注意还原之． 典型例题五 例5 （1）求的最大值． （2）求函数的最小值，并求出取得最小值时的值．　 （3）若，且，求的最小值． 解：（1） 即的最大值为 当且仅当时，即　时，取得此最大值． （2） ∴　的最小值为3，当且仅当，即，，时取得此最小值． （3）∴　　∴即 ∵　∴　即的最小值为2． 当且仅当时取得此最小值． 说明：解这类最值，要选好常用不等式，特别注意等号成立的条件． 典型例题六 例6　求函数的最值． 分析：本例的各小题都可用最值定理求函数的最值，但是应注意满足相应条件．如：，应分别对两种情况讨论，如果忽视的条件，就会发生如下错误：∵　， 解：当时，，又， 当且仅当，即时，函数有最小值 ∴　 当时，，又， 当且仅当，即时，函数最小值 ∴　 典型例题七 例7　求函数的最值． 分析：． 但等号成立时，这是矛盾的！于是我们运用函数在时单调递增这一性质，求函数的最值． 解：设， ∴． 当时，函数递增． 故原函数的最小值为，无最大值． 典型例题八 例8　求函数的最小值． 分析：用换元法，设，原函数变形为，再利用函数的单调性可得结果．或用函数方程思想求解． 解：解法一： 设，故 ． 由，得：，故：． ∴函数为增函数，从而． 解法二： 设，知，可得关于的二次方程，由根与系数的关系，得：． 又，故有一个根大于或等于2， 设函数，则，即，故． 说明：本题易出现如下错解：．要知道，无实数解，即，所以原函数的最小值不是2．错误原因是忽视了等号成立的条件． 当、为常数，且为定值，时，，不能直接求最大（小）值，可以利用恒等变形，当之差最小时，再求原函数的最大（小）值． 典型例题九 例9　求的最小值． 分析：此题出现加的形式和平方，考虑利用重要不等式求最小值． 解：由，得 又得，即． 故的最小值是． 说明：本题易出现如下错解： ，故的最小值是8． 错误的原因是，在两次用到重要不等式当等号成立时，有和，但在的条件下，这两个式子不会同时取等号（）．排除错误的办法是看都取等号时，与题设是否有矛盾． 典型例题十 例10 已知：，求证：． 分析：根据题设，可想到利用重要不等式进行证明． 证明： 同理： 说明：证明本题易出现的思维障碍是：(1)想利用三元重要不等式解决问题；(2)不会利用重要不等式的变式；(3)不熟练证明轮换对称不等式的常用方法．因此，在证明不等式时，应根据求证式两边的结构，合理地选择重要不等式．另外，本题的证明方法在证轮换对称不等式时具有一定的普遍性． 典型例题十一 例11设，且，，求的最大值． 分析：如何将与用不等式的形式联系起来，是本题获解的关键．算术平均数与几何平均数定理两边同加之后得． 解：由，则有 说明：常有以下错解： ， ． 故． 两式相除且开方得． 错因是两不等式相除，如，相除则有． 不等式是解决从“和”到“积”的形式．从“和”到“积”怎么办呢？有以下变形：或． 典型例题十二 例12　已知：，且：，求证：，并且求等号成立的条件． 分析：由已知条件，可以考虑使用均值不等式，但所求证的式子中有，无法利用，故猜想先将所求证的式子进行变形，看能否出现型，再行论证． 证明： 等号成立，当且仅当时． 由以上得 即当时等号成立． 说明：本题是基本题型的变形题．在基本题型中，大量的是整式中直接使用的均值不等式，这容易形成思维定式．本题中是利用条件将所求证的式子化成分式后再使用均值不等式．要注意灵活运用均值不等式． 典型例题十三 例13 已知，且，求的最大值． 分析：由，可得， 故，令． 利用判别式法可求得（即）的最大值，但因为有范围的限制，还必须综合韦达定理展开讨论．仅用判别式是不够的，因而有一定的麻烦，下面转用基本不等式求解． 解法一：由，可得，． 　 注意到． 可