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词·清平乐 禁庭春昼，莺羽披新绣。 百草巧求花下斗，只赌珠玑满斗。 日晚却理残妆，御前闲舞霓裳。谁道腰肢窈窕，折旋笑得君王。 教学设计案例 高考中的线性规划问题探究 温州市第二十二中学 刘蓉蓉 一、内容和内容解析 线性规划问题从2004年进入高考后,逐步成为高考的一个热点,命题多以选择题、填空题的形式出现。随着这部分内容研究的深入，线性规划的试题从单一、静态的线性规划发展到较全面、动态的线性规划问题。 本节课作为一节高三线性规划问题的复习课把重点放在对含参数的线性规划问题的讨论与解决，及数形结合思想、分类讨论思想和转化化归思想的培养和渗透。 二、目标和目标解析 1.了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组，这是进一步顺利解决线性规划问题的前提条件。 2.掌握简单二元线性规划问题的解决方法，以考查线性目标函数的最值为重点，并进一步涉及代数式的其他几何意义（如斜率、距离、面积等）。 3.掌握含参数的线性规划问题的解决方法，从中体会数形结合思想、分类讨论思想和转化化归思想，以此提高学生分析问题、解决问题的能力。 三、教学问题诊断分析 大部分学生对简单的线性目标函数的最值问题已能熟练掌握和运用，但是对含参数的线性规划问题，由于平时接触不多，而且含参数就意味着该问题是运动变化的，解决的过程中必将遇到很大的困难。如何突破这个难点，就是本节课要去重点设计和安排的。 四、教学支持条件分析 为了有效实现教学目标，根据问题诊断分析，将采取以下两个方面的教学支持条件： 1．本节课借助几何画板软件帮助学生更好地体验线性规划问题中的运动变化的过程，从而有利于含参数问题的顺利解决。 2．为了让学生更好的参与到整个课堂教学活动中来，突出学生的主体地位，可以利用教室的实物投影将部分有代表性的学生的推导过程或者解题过程展现出来，从而给学生提供一个展示自我的平台，同时也促进师生、生生间的交流和对话。 五、教学过程设计 一．复习旧知，巩固提高 引例：（09浙江高考题）若实数x，y满足不等式组 的最小值是__________. 设计意图：复习巩固线性目标函数的最值问题的求法，同时也让学生近距离接触高考题，了解高考的动态和难易程度。 师生活动：学生独立完成解题过程。教师巡视并在一旁指导，选取学生当中有代表性的解法通过实物投影展示出来。 【解法一】 画出其，，将其平移，可知直线过点时，点时， 故的最小值转化为确定在方向上的投影的最小值。 所以结合图形，在点A时， 探究：在可行域不变的前提下，你还会出什么问题？ 设计意图：通过设置这个探究问题，能促使学生去整理归纳这部分的知识，同时复习如斜率、距离、面积等涉及代数式的其他几何意义的问题，并培养了学生提出问题的能力。 师生活动：学生分小组讨论。请学生代表口述，并简要说明解题思路。 学生1：求的取值范围 学生2：求的取值范围 学生3：求的最小值 学生4：求ABC的面积 小结：抓住目标函数的几何意义。 二．化静为动，突破提高 例1.若实数x，y满足约束条件目标函数仅在点（2，0）处取得最小值，求a的取值范围。 设计意图：此题属于目标函数中含有参数的线性规划问题，是由09陕西高考题改编，保留了引例中的可行域，从而保证学生有充足的时间思考问题的核心。 师生活动：因为这个问题是本节课的重点和难点，故要预留充分多的时间给学生思考。教师巡视指导学生，请解法典型的学生口述解题过程，同时借助几何画板演示运动变化的过程，帮助学生理解。 【解法一】 在A(2,0)处，目标函数z=2a 在B(4,4)处, 目标函数z=4a+4 在C(1,1)处，目标函数z=a+1 目标函数仅在点（2，0）处取得最小值 ，解得 【解法二】 目标函数可化为，结合图形可知 当时，显然成立 当时， 当时， 综上得 【解法三】 问题转化为当直线经过点（2，0）时，点B,C在直线的同侧，此时直线 要使点B,C在直线的同侧，则 即，解得 评注：解法一简单易行，但解法不严谨不适用于解答题；解法二对实数a进行分类讨论，容易讨论不全；解法三联系点与直线的位置关系，巧妙的解决了此题，但是不容易想到。 小结：灵活运用数形结合思想、分类讨论思想和转化化归思想。 变式1：若实数x，y满足约束条件目标函数取最小值的最优解有无穷多个，则a＝ 变式2：设满足约束条件若目标函数 的最大值为4，则的最小值为 设计意图：变式1是对例1的补充，通过这一变式让学生掌握线性规划问题的最优解的各种情况。变式2是对例1的延续，本题改编自09年山东的高考题，目标函数中出现了两个参数，同时还与基本不等式相结合，能很好地考查学生综合应用的能力。 师生活动：由学生各自独立完成，教师巡视，及时了解学生对此类问题的掌握情况，从而有针对性的加以辅导。 例2.若实数