线性代数中的一些逻辑形式分析.pdfVIP

教育与人才 《线性代数》中的一些逻辑形式分析 喻光伟 （中南民族大学，湖北 武汉 441300） 摘 要：本文介绍了逻辑学中基本概念，佐以线性代数中的具体例子说明之；既是对逻辑学的初步认识，又为《线性代 数》学习提供了一个新的高起点的视角。 关键词：逻辑学；线性代数；思维；命题；推理 1 逻辑学与数学的关联 定义如：n阶行列式。 逻辑是关于思维规律的科学，它提供和揭示思维所需 要的正确的思维形式、规则和方法。一切科学，理论都是 2 设有n个数，排成n行n列的数表 作出表 理论思维的结果。正确的理论思维必须有相应的逻辑根 t 中位于不同行不同列的n个数的乘积，并冠以符号(-1)，得 据。对于数学，为了整个理论的严格性，数学首先明确了 到形如 ——（式1）的项，其中 为自 自身的逻辑基础，把它整理成一个逻辑的公理系统。在这 然数1，2，…，n的一个排列，t为这个排列的逆序数。由 个公理系统上，通过增加数学的公理而建立起了整个数学 于这样的n级排列共有n！个，因而形如（1）这样的项共有 大厦。数学理论的严格性，不可辩驳的正确性，其根本在 n！项。所有这n!项的代数和 ，称为n阶行 于它的逻辑性。 列式。 2 逻辑学中思维的反映形式 性质如：行列式与它的转置行列式相等。 思维是一种理性认识，它具有概括性和间接性。思维 定理如：克拉默法则 分为形象思维，抽象思维（理论思维）和顿悟思维（灵 感）。我们日常的思维和理论学习，科学研究中的思维几 乎都是抽象思维，它是思维的主体部分。逻辑学所涉及的 如果线性方程组 ——（式2）的 是抽象思维，所以抽象思维又叫逻辑思维。思维是对事物 和事物情况的反映。相对于个体、类、性质和关系的反映 是概念，关于事物情况的反映是判断或者命题。思维又有 系数行列式不等于零，即 ，那么方程组 间接反映，有其自身的能动性，除了概念，命题外，还有 ， ， ， （2）有唯一解 ，其中D (j=1 2 … j 推理、论证等。 n)是把系数行列式D中的第j列的元素用方程组右端的常数项 思维通过语言表达和进行。任何思维都有与其相应的 代替后所得到的n阶行列式，即 语言形式。概念的语言形式是词语；命题和判断的语言形 式是语句；推理的语言形式是语句组；论证的语言形式则 是语句组、语句群或篇章。在语言和思维的关系上，语言 只是思维的表达形式或载体，不是思维本身。 推论如：紧承克拉默法则。 逻辑所研究的是思维本身的一些规律，而不是表达思 如果线性方程组（2）无解或有两个不同的解，则它的 维的载体的规律。思维中由于反映对象的种类以及反映的 系数行列式必为零。 基本方式等方面的不同，形成了不同种类的思维，又称为 判断也是反映事物情况的思维形式，这一点与命题相 思维形态，主要有概念、命题、判断、推理和论证等等。