一类最优投资随机控制模型的马氏链算法.pdfVIP

维普资讯 2004年6月 应用数学与计算数学学报 第 18卷第 1期 June，2004 COMM ．ON APPL．MATH．ANDCOMPUT Vol_18 No．1 一 类最优投资随机控制模型的马氏链算法 宿 莉 秦成林 上海大学理学院，上海，200436 摘要：现代金融经济中的很多问题可以构建成随机控制模型，而随机控制的求解却 存在一定的困难．马氏链算法应该是一种有效的求解随机控制问题的数值方法．本文以 ClausMunk的工作为基础，针对一类最优投资模型，具体确定了马氏链的转移矩阵并证 明其满足算法收敛条件，并用MATLAB语言编成一个程序实现． 关键词：随机控制，马氏链，最优投资 1．引 言 大量金融、经济中的问题可以构建成随机控制模型，例如最优投资的资产分配问 题．在此问题中，财富作为状态变量是随机过程，资产分配作为反馈控制，目的是要达 到效用函数期望的最大化或者损失函数期望的最小化．但是模型中要求的最优控制和 值函数却很少能够解析地求出，所以需要一些有效的数值方法．马氏链算法的原理是 通过离散时间、离散状态的马氏链去近似连续时间、连续状态的状态变量，同时使马 氏链的值函数能够收敛于状态变量的值函数．本文以ClausMunk[3J工作为基础，针对 一 类最优投资的资产分配问题，具体确定马氏链的转移矩阵和给出其满足收敛条件的 证明，最后还用MATLAB语言编成程序实现． 随机控制问题 考虑一个可滤的概率空间(Q． FP)，其中 是 (Q，P)上的 一代数，滤子F= { ∈ )满足通常条件．状态变量为一个适应过程X={x(t)10 t∞)(x(t)∈R) 并满足随机微分方程： dx(t)一．厂((￡)，0((￡)))d￡+夕((￡)，0((￡)))d叫(￡) (2-1) 其中a：Rp—R 是可允许的控制，即它满足是渐进可测的同时能控制状态变量稳定在 Rp里的一个子集中，并设所有可允许控制组成的集为A(x)；漂移函数f：Rp×Rq—Rp 和扩散函数g：Rp×Rq—Rpxd是连续的且满足使 (2—1)有解的条件，下设S(x，a)一 本文2003年10月30日收到． 此课题受到交通银行基金托管部和上海市教委重点学科建设项目的资助． 维普资讯 应用数学与计算数学学报 18卷 g(x，a)g(x，n)T．控制的目标函数： 叫()=E[eXp{一o／丁()，丁，n()，丁))打 )，n())ds +exp{一o／(丁()，丁，n(丁()，丁))d丁)(())f(。)=] 值函数：v(x)= supw(x，n)．随机控制的问题就是求满足初值条件x(O)=X的值函 0∈ (z1 数v(x)和最优控制a． 随机控制问题的解法 利用动态规划原理是解决随机控制同题的一个重要途径．由此可以得到Bellman 方程，于是余下的问题就是对Bellman方程的处理．下面推导Bellman方程． u(，t)：supE厂『e{一dr)ds+e{一dr)(())] aE (z，t) ，‘t ： supE e{一ft8~dr}Lds+e{- )u((¨△t) ， t+△t)] 整理式子得： 。 ∽E[ +学 …(Ⅲt) + e{一 )]：0 当At一0时求极限，得Bellman方程