一道试题的来源和推广.pdfVIP

维普资讯 2007年第 10期 9 命题与解题 一 道 试 题 的 来 源 和 推 广* 张 矗 (湖南师范大学数学与计算机科学学院，410012) 题 目 在半径为 10的圆周上任给63个 圆内接正 t边形的边长，k(k≤k。)为正整 点．设以这些点为顶点且三边长都大于9的 数．设以 内的点为顶点并且边长都大于 Z 三角形的个数为 |s．求 s|的最大值． 的凸 k边形的个数为 s|()．则 S()的最 (第48届 IMO中国国家队选拔考试) 大值为 该题可看成是由题 1演变而来的． k 题 1 在单位圆周 c上任给 个不同的 maxS()=∑ k-一im ， ① 点．设以这些点为端点且长度大于 √2的线段 其中，=mk。+r(m、r为非负整数，0≤r≤ 有 |s条 ．证明：3S≤ ．… k0—1)． (第48届波兰数学奥林匹克) 为了证 明定理，需要下列引理 ． 显然，两道题还可进一步作如下推广： k 推广 在半径为 的圆周 c上任给 引理1 ∑ ％i一(m+1)㈠m 个不同的点组成集合 ．设以 内的点为顶 k 点且各边长都大于 Z的凸k边形的个数为 = ∑c m ， ② s|()，其中，Z为给定正实数，k(k≥2)为给 其中， 为通常组合数记号，但约定当0≤p 定正整数且约定凸二边形为线段，其边长为 ≤q一1时， =0． 该线段长．求 s|()的最大值． 引理 1的证明：设式②左端中 m 的‘系 若 Z≥2 ，则显然有 s|()=0． 数为 o ．则 从而，maxS()=0． k 下设0Z2R，此时，存在唯一的正整 = ∑ ci一k-i‘ 数k0，使 。+l≤Z。¨其中，02=2 ，而 k ～ — q · 0(t≥3)为圆C的内接正 t边形的边长． ： 。 o — r 若 kk。，显然，