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2014新人教B版必修四《平面向量的基本定理》word同步测试.doc
2.2.1
一、选择题
1.设e1、e2是平面内所有向量的一组基底,则下面四组向量中,不能作为基底的是( )
A.e1+e2和e1-e2 B.3e1-2e2和4e2-6e1
C.e1+2e2和e2+2e1 D.e2和e1+e2
[答案] B
[解析] ∵4e2-6e1=-2(3e1-2e2),
∴3e1-2e2与4e2-6e1共线,不能作为基底.
2.已知c=ma+nb,要使a、b、c的终点在一条直线上(设a,b,c有公共起点),m,n(m,n∈R)需满足的条件是( )
A.m+n=-1 B.m+n=0
C.m-n=1 D.m+n=1
[答案] D
[解析] a,b,c的终点要在同一直线上,
则c-a与b-a共线,
即c-a=λ(b-a),
∵c=ma+nb,∴ma+nb-a=λb-λa,
∴(m-1+λ)a=(λ-n)b,
∵a、b不共线,∴,消去λ,
∴m+n=1.
3.下面给出了三个命题:
①非零向量a与b共线,则a与b所在的直线平行;
②向量a与b共线的条件是当且仅当存在实数λ1、λ2,使得λ1a=λ2b;
③平面内的任一向量都可用其它两个向量的线性组合表示.
其中正确命题的个数是( )
A.0 B.1
C.2 D.3
[答案] B
[解析] 命题①两共线向量a与b所在的直线有可能重合;命题③平面内的任一向量都可用其它两个不共线向量的线性组合表示.故①③都不正确.
4.给出下列结论:①若a≠b,则|a+b||a|+|b|;②非零向量a、b共线,则|a+b|0;③对任意向量a,b,|a-b|≥0;④若非零向量a,b共线且反向,则|a-b||a|.其中正确的有( )个.( )
A.1 B.2
C.3 D.4
[答案] B
[解析] ①中有一个为零向量时不成立;②中a,b若是相反向量则不成立;③、④正确,故选B.
5.已知向量e1、e2不共线,实数x,y满足(x-y)e1+(2x+y)e2=6e1+3e2,则x-y的值等于( )
A.3 B.-3
C.6 D.-6
[答案] C
[解析] ∵e1,e2不共线,
∴由平面向量基本定理可得,解得.
6.设一直线上三点A,B,P满足=λ(λ≠±1),O为平面内任意一点,则用,表示为( )
A.=+λ
B.=λ+(1+λ)
C.=
D.=+
[答案] C
[解析] ∵=+λ=+λ(-)=+λ-λ,
∴(1+λ)=+λ,∴=.
7.O是平面上一定点,A、B、C是平面上不共线的三个点,动点P满足=+λ,λ∈[0,+∞),则P的轨迹一定通过△ABC的( )
A.外心 B.内心
C.重心 D.垂心
[答案] B
[解析] 因与都为单位向量且λ∈[0,+∞),所以λ平分与的夹角,即平分∠A,∴P点轨迹通过△ABC的内心.
8.已知P为△ABC所在平面内一点,当+=成立时,点P位于( )
A.△ABC的AB边上 B.△ABC的BC边上
C.△ABC的内部 D.△ABC的外部
[答案] D
[解析] 由+=,得=-=,
所以PA∥BC,所以P在△ABC的外部.
二、填空题
9.在ABCD中,=a,=b,=3,M为BC的中点,则=________(用a、b表示).
[答案] -a+b
[解析] ∵=3,∴4=3=3(a+b),=a+b,
∴=(a+b)-=-a+b.
10.已知向量a与b不共线,实数x,y满足等式3xa+(10-y)b=(4y+7)a+2xb,则x=________,y=________.
[答案]
[解析] ∵a、b不共线,∴,解得.
11.设平面内有四边形ABCD和点O,=a,OB=b,=c,OD=d,若a+c=b+d,则四边形ABCD的形状是________.
[答案] 平行四边形
[解析] 如图所示,∵a+c=b+d,∴a-b=d-c,即=,故AB∥CD,且AB=CD,即ABCD为平行四边形.12.在平行四边形ABCD中,E和F分别是边CD和BC的中点,若=λ+μ,其中λ、μ∈R,则λ+μ=________.
[答案]
[解析] 设=a,=b,
∴=a+b,=a+b,
又∵=a+b,
∴=(+),即λ=μ=,∴λ+μ=.
三、解答题
13.如图,已知△ABC中,M、N、P顺次是AB的四等分点,=e1,=e2,试用e1,e2表示、、.[解析] 利用中点的向量表达式得:
=e1+e2;=e1+e2;
=e1+e2.
14.如图,已知在△ABC中,D是BC上的一点,且BD=λDC(λ≠-1),求证:=.[解析] 由“向量求和的三角形法则”可知:=+=+λ①
=+=-,∴λ=λ-λ②
①+②得+λ=+λ,
∴=.
15.如图,在△AOB中,=a,=b,设=2,=3,而OM与BN相交于点P,试用a、b表示向量.[解析] =+=+
=
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