1基数与实数理论.pdfVIP

Functional Analysis 集合  集合论自十九世纪八十年代由德国 数学家Cantor创立以来，已发展成一个 独立的数学分支，其基本概念与方法已 渗入到二十世纪的各个数学领域。集合 论是研究集合的各种性质，它的初期工 作与数学分析的深入研究密切相关。 理发师悖论 1900年H. Poincare ：现在，我们能够 说完全严格性已达到了。 1903年Russell 提出“ 理发师悖论” 。一 个乡村理发师，自夸无人可比，他宣称自 己当然不给自己刮脸的人刮脸，但却给所 有自己不刮脸的刮脸。有一天，他发生了 疑问：他是不是应该给自己刮脸? 1919 集合的公理系统--ZFC 系统 自Russell悖论后，许多数学家为摆脱这 一危机而努力工作。 途径为: 对Cantor的集合论加以改造，引 进新的理论体系。 Zermelo在1908年提出七条公理 Fraenkel加入代换公理 Axiom of Choice (选择公理) 。 ZFC 系统  1917年法国数学家米里马诺夫提出了 一个悖论，von Neumann又引入了正则公 理，至此的公理系统最终建立起来。 附: 自然数的Peano公理  设 是一非空集合，且 1) 在内存在一个特定元素，记为0;  2) 存在  到自身的一个映射 n n 使下面三条公理满足: a) 对任意 n , n 0;  n n b) 是一个单射 Peano公理  C) (归纳公理) 如果 的一个子集S 具备如下条件: 0 S n S n S 1) 2) 若 , 则 , 那么,必有 S    此时,称 是一个自然数系, 内的元素 称为自然数.  {0,1,2,} 集合的基数(势)  映射(双射） 对等 两个集合A和 B，若存在双射 f : A B 则称A与B对等，记 A B 对 等  1 、 若A与 {1, 2,3,...n } 对等， 则称A为有限集，其基数为n， 否则，称之为无限集。 对 等 命题 设A和B为同基数的有限集，若 f :A B 为单射，则f 必为满射。 反之，若f 为满射，则必为单射。 鸽笼原理  设想有一群鸽子，和等数的鸽笼， 则上命题知：如果每一鸽子一一进 笼，则鸽笼必无空者；反之，如鸽 笼皆无空者，则必然每一笼子中仅 有一只鸽子。 可数、不可数  2、若A与正整数集{1,2,...,n ,...} 对等，则称A为可数集，否则为 不可数集 （在无限集中讨论）。 定理 Th 1. 有理数集Q是可数(无限)集。 Th 2. 可数多个可数集的并集是可数的。 Th