求数列通项公式专题总结(一).docVIP

专题总结：求数列通项公式（一） 王展硕 说明：数列通项专题总结（一）希望同学们能认真阅读，掌握对于不同类型的已知条件相应地求通项公式的方法；数列通项专题总结（二）供同学们平时做题时检索查阅使用。 一、累加法（逐差求和法）：an = a1 +（a2―a1）+……+（an―an―1）。累加法是求型如的递推数列通项公式的基本方法（可求前项和）. 例1 已知an+1＝an ＋2n+1 ，a1＝1 ，求数列{ an }的通项公式。 解： ∴通项公式为 例2 已知an+1 = an +2×3n+1，a1 = 3，求数列{ an }的通项公式。 解：　已知得　an+1 －an = 2×3n+1 ∴ 例3 已知an+1 = 3an +2×3n+1，a1 = 3，求数列{ an }的通项公式。 解：已知两边除以 ， 得 ，则 ， 则 二、累乘法（也叫逐商求积法）:利用恒等式求通项公式的方法称为累乘法,累乘法是求型如: 的递推数列通项公式的基本方法(数列可求前项积). 例4 已知an＝ n（an+1 － an ），n∈N*，a1 = 1，求数列{ an }的通项公式。 解：已知得 当n=1时a1 = 1，满足an = n， ∴　an = n. 反思: 用累乘法求通项公式的关键是将递推公式变形为. 例5 已知an+1 =2（n+1）5n×an ，a1 = 3，求数列{ an }的通项公式。 解： 已知得an ≠0，an+1 /an ＝2（n+1）5n ∴ 通项公式为 关键是把递推关系转化为 例6 已知，求的通项公式。 解：因为 ① 所以 ② ②－①得 则 故 ∴an ＝ an /an－1 ×an－1 /an－2 ×……×a3 /a2 ×a2 ＝n×（n－1）×……×4×3 ×a2＝n！/2×a2 ③ n=2由①可得a2 ＝a1＝1 ， 代入③得通项公式： 关键是把递推关系式转化为。 三、构造新数列: 将递推公式 （ 为常数，和1， ） 通过与原递推公式恒等变成的方法叫构造新数列. 例7 已知an =2an－1 +1，n≥2，a1 = 1，求数列{ an }的通项公式。 解: 设, 求得, 是首项为,公比为2的等比数列,即, 四、公式法：，等差通项an=a1+（n－1）d ， 等比通项an=a1qn－1 例8 已知无穷数列的前项和为，并且，求的通项公式。 解： ， ，又， . 反思：利用相关数列与的关系：,与提设条件，建立递推关系，是本题求解的关键. 例9 已知数列{ an }满足an+1 =2an +3×2n ，a1 = 2，求数列{ an }的通项公式。 解： 两边除以，得 ， 则 ， 数列是以为首项，以为公差的等差数列，得 ， ∴ 数列的通项公式为。 五、倒数变换：将递推数列 取倒数变成 例10 已知数列中, ,,求数列的通项公式. 解: 已知取倒数: , , 是以为首项,公差为2的等差数列. ,. 反思:倒数变换有两个要点需要注意:一是取倒数.二是一定要注意新数列的首项,公差或公比变化了. 六、待定系数法 例11 已知an+1 =2an+3×5n ，a1 = 6，求数列{ an }的通项公式。 解：设an+1 +x×5n+1 =2（an+x×5n） ① 将an+1 =2an+3×5n代入① 得 2an+3×5n +x×5n+1 =2an+2x×5n 得3+5x=2x ∴ x=－1 代入①得 an+1 －5n+1 =2（an－5n） ② 由a1－5=6－5≠0 及 ② 得 ，则 数列{an－5n}是首项为a1－5=1、公比为2的等比数列， ∴ an＝2n－1 ＋ 5n 关键是把an+1 =2an+3×5n转化为an+1－5n+1＝2（an－5n），数列{ an－5n }是等比数列。 例12 已知数列{ an }满足an+1 ＝3an+5×2n +4，a1 = 1，求数列{ an }的通项公式。 解：设an+1 +x×2n+1 +y＝3（an+x×2n+y） ① 将an+1 ＝3an+5×2n +4 代入 ① 得 3an+5×2n +4 +x×2n+1 +y＝3（an+x×2n +y） 整理得（5+2x）2n + 4 + y ＝ 3x×2n + 3y 令，则，代入①式得 ② 由及②式，得，则， 故数列是以为首项，以3为公比的等比数列， 因此，则。 关键是化递推关系式 an+1 ＝3an+5×2n +4 为 an+1 +5×2n+1 +2＝3（an+5×2n+2） 可知数列{ an+5×2n+2}是等比数列。 例13 已知数列{ an }满足an+1 ＝2an+3n2+4n+5，a1 =