5 方程求根法(5.1-5.3.1).pdfVIP

第5章 非线性方程的数值解法 求f (x) = 0 的根 5.1 引例及问题综述 5.2 二分法 课程FTP: 5.3 简单迭代法 3:21 eexinhh_stu 123456 5.4 牛顿迭代法 5.5 弦截法 1 5.1 引言 5.1.1 引例 在解决实际问题的过程中，经常遇到求解一元非线性方 程根的数学问题。 天文学中用开普勒方程 x q sin x a (0 q 1,a是常数） 来确定行星在轨道上的位置。 2 5.1.2 问题综述 设f (x)为一元连续函数，称方程f (x) = 0为函数方程 • f (x) 是单变量x 的函数，当f (x) 不是 x 的线性函数时， 称对应的函数方程为非线性方程。 n n- 1 • f (x) 可以是代数多项式 ： f (x)= a x + a x + … n n- 1 +a x+a (a ≠0) 1 0 n • 称f (x) ＝0为n次代数方程，当n 1时，方程是非线性的。 • 当f (x)包含指数函数或三角函数等特殊函数时，即不能 表为代数多项式的形式时称为超越函数，则f (x) ＝0称 为超越方程。 3 5.1.2 问题综述(续） •满足方程 f (x) ＝0 的x 值通常叫做方程的根或解，也叫函 数f (x) 的零点。 •如果f (x) = (x-x*)m g(x) 且 g(x*)≠0，则称x*为f (x)=0的m重 根。 m= 1称为单根，m 1称为重根。 4 5.1.2 问题综述(续） •远在公元前1700年的古巴比伦人就已有关于一、 二次方程的解法。 《九章算术》(公元前50-100年) 其中 “方程术”有联立一次方程组的一般解法。 • 1535年意大利数学家坦特格里亚 (TorTaglia)发现 了三次方程的解法，卡当 (H·Cardano)从他那里得 到了这种解法，于1545年在其名著 《大法》中公 布了三次方程的公式解，称为卡当算法。 •后来卡当的学生弗瑞里 (Ferrari)又提出了四次方 程的解法。此成果更激发了数学家们的情绪，但 在以后的二个世纪中，求索工作始终没有成效， 导致人们对高次代数方程解的存在性产生了怀疑。 5