复数在初等数学中的应用10404234.docVIP

/ 复数在初等数学中应用 姓名：詹华 班级：数学1002班 学号 1.形如z=x+yi或者z=x+iy的数，称为复数，其中x,y是任意实数，实数单位为1，i满足=-1，称为复数单位。x,y分别是复数z的实部和虚部，分别记为x=Rez,y=Imz。如果说两个复数相等的话，那么它们的实部和虚部都相等。当一个复数的实部和虚部都为0时，那么这个z=0。 2.复数的运算： 例1：把复数化为标准形式： 例2：已知两个，且这两个复数是相等的，求a与b值。 由题可知：两个复数完全相等，故a-1=5,b=6,解得a=b=6。 3.对于复数z=x+iy,称为z的共轭复数,且z的模r=。因此有以下关系式：。假如a,b都是复数，则， 例3：若复数满足等式 ，证明： 证明：由已知等式取模可得： 又由已知等式知： 即，从而有： 得到， 即可证明 4.复数的三角形式： 若z1=r1(cosθ1+isinθ1), z2=r2(cosθ2+isinθ2)，则z1??z2=r1r2[cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)]；若[cos(θ1-θ2)+isin(θ1-θ2)]，用指数形式记为z1z2=r1r2ei(θ1+θ2),。 例4：若化为指数形式： 例4：求复数（复数）的实部，虚部以及模。 实部为：，虚部为：，模为 例5：若 ，则必有Re(z)Im(z)=0. 由题可设：则；，，故Re(z)Im(z)=0。 例6：对于任何复数来说z，是否一定成立？ 不是，设，，仅有或者是2xy=0时才成立。 例7：设是虚数（即），则为实数的条件是（）。 由题可知：是实数，故根据实数的性质：，即如下：， 例8：设是虚数（即），则为实数的条件是（）。 由题可知：是实数，故根据实数的性质：，即如下：， 例9：:设为实数，则（xy=0) 5.复平面，一个复数z=x+iy,本质上由一对有序实数（x，y)唯一确定，(x,y)就成为复数z的实数对形式。于是能够建立平面上全部的点和全体复数z间的一一对应关系。换句话说，我们可以借助于横坐标x,纵坐标y的点来表示该复数。 由于x轴上的点对应着是实数，故称x 轴为实轴；y轴上的非原点上的点对应着虚数，故称y轴为虚轴。这样表示复数z的平面叫做复平面。这样我们就将实数轴的xoy平面转化到了复数的z平面。 另外，在复平面上。从原点到点z=x+iy所引的向量与这个复数也构成了一一对应的关系（复数0对应着0向量），这种对应关系使复数的加减法与向量的加减法之间相一致。所以我们在举例子的时候将复数与初等数学中的函数与向量相联系起来： 例10：若，则()。 令，。 例11：当时，求的最大值与最小值。 由题可知： 我们知道，当，且向量与a的夹角为0时不等式等号成立。故的最大值为。 对左边不等式，要分情况进行讨论; 若，则等号当且与a的方向相反成立。 若则由当时等号成立。 6、复数的幅角与模： 表示复数z的位置，也可以借助点z的极坐标r和a来确定，这使原点与直角坐标系原点重合，极轴与正实轴重合。实轴正向到非复数Z=x+iy所对应原点到复平面表示该复数的向量之间的夹角a, ,称为复数z的幅角，记为。我们知道任一一个非零复数都有无穷多个幅角，令一个为argz表示其中一个特值，并且有的一个为Argz的主值， 注意当z=0时没有任何意义，当argz表示z 的主幅角时，它的反正切d的主值有如下关系： 当为任何，; 当时，； 当，； 当时， 当x0,y=0时， 例12：求以及。 例13：已知流体在某点M的速度v=-1-i,求其大小和方向。 大小：方向： 7、应用复数来证明一些式子： 例14: 设z=x+iy,试着证明 由题可知： 例15：若，且，证明以为顶点的为等边三角形。 证明：记，则 得，同样 即得，命题得证。 例16：设是等分圆周的n个点，证明： 证明：为了符号的清晰，我们记向量 则有，且两两之间的夹角为，恰好是正n边形的外角，因此n个向量构成正n边形，故，即。 例17：证明复数形式的柯西不等式： 例18：若复数满足等式 ，证明： 证明：由已知等式取模可得： 又由已知等式知： 即，从而有： 得到， 即可证明 8.复数的三角形式： 若z1=r1(cosθ1+isinθ1), z2=r2(cosθ2+isinθ2)，则z1??z2=r1r2[cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)]；若[cos(θ1-θ2)+isin(θ1-θ2)]，用指数形式记为z1z2=r1r2ei(θ1+θ2),。 例16：若化为指数形式：