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椭圆及其标准方程优秀观摩课活动教案 课题：椭圆及其标准方程 教材：人教版（必修）数学第二册(上)第八章第一节 一、教学目标： 1．知识与技能目标： （1）掌握椭圆定义和标准方程。 （2）能用椭圆的定义解决一些简单的问题。 2．过程与方法目标： （1）让学生在椭圆定义的归纳和标准方程的推导过程中，体会探索的乐趣。 （2）培养学生发现规律、寻求规律、认识规律并利用规律解决实际问题的能力。 （3）在椭圆定义的获得和其标准方程的推导过程中进一步渗透数形结合、化归等思想和方法 3．情感态度与价值观目标： （1）通过椭圆定义的获得培养学生对数学的兴趣，通过标准方程的推导培养学生求简意识并能懂得欣赏数学的“简洁美”。 （2）通过师生、生生的合作学习，增强学生团队协作能力的培养，增强主动与他人合作交流的意识。 二、教学重点、难点： 1．重点：椭圆定义及其标准方程 2．难点：椭圆标准方程的推导 三、教学过程 （一）、认识椭圆，探求规律: 1．对椭圆的感性认识。通过演示课前老师和学生共同准备的有关椭圆的实 物和图片，让学生从感性上认识椭圆。 如： 2．通过动画设计，展示椭圆的形成过程，使学生认识到椭圆是点按一定“规 律”运动的轨迹。 点是线段AC上一动点，分别以为圆心，与为半径做圆，观察两圆交点的轨迹。 请同学们思考： 在运动中，哪些量是不变的，哪些量是变化的？ 能不能把不变的量用数学表达式表达出来？ 点（椭圆上的点）是以怎样的规律进行运动的？ 用这个规律能不能画出一个椭圆？ （二）、动手实验，亲身体会 用上面所总结的规律，指导学生互相合作（主要在于动手），体验画椭圆的过程（课前准备直尺、细绳、钉子、笔、纸板），并以此了解椭圆上的点的特征。 请两名两学上台画在黑板上。 在本环节中并不是急于向学生交待椭圆的定义，而是设计一个实验，一来是为了给学生一个创造实验的机会，让学生体会椭圆上点的运动规律；二是通过实践，为进一步上升到理论做准备。 （三）、归纳定义，完善定义 我们通过动画演示，实践操作，对椭圆有了一定的认识，下面由同学们归纳椭圆的定义（学生分组讨论）。 椭圆定义：平面内与两个定点的距离的和等于常数（大于2c）的点的轨迹叫做椭圆 在定义的归纳过程中，教师根据学生回答的情况，不断引导学生完善定义。 在引导中突出体现“和”，“常数”，及“常数”的范围等特征。 如：总结动画演示中两圆半径之和（常数）得到椭圆上点到两定点距离之和为常数。 通过课件分别演示当两定点间距离等于线段长度时的轨迹（为一条线段）和当两定点距离大于线段长度时的轨迹（不存在），由学生完善椭圆定义中常数的范围。 教师指出：两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距。 （四）、合理建系，推导方程 由学生自主提出建立坐标系的不同方法，教师把学生分组，分别按不同的建系的方法推导方程，得出结论后，进行比较，从中选择比较简洁的形式确定为标准方程。 已知椭圆的焦距｜F1F2｜＝2C（C＞0），椭圆上的动点M到两定点F1、F2的距离之和为2a，求椭圆的方程。 （1）以两个定点,所在直线为x轴，线段的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系．设，点为椭圆上任意一点，则 ， 所以得 ， 化简，得 注：这是本节的难点所在，通过课堂精心设问来突破难点：①化简含有根号的式子时，我们通常有什么方法？②对于本式是直接平方好呢还是恰当整理后再平方？学生通过实践，发现对于这个方程，直接平方不利于化简，而整理后再平方，最后能得到圆满的结果。这样，椭圆方程的化简这一难点也就迎刃而解了。 （2）以线段中点为坐标原点，所在直线为y轴建立平面直角坐标系，所得椭圆方程为： （3）以点为坐标原点，所在直线为x轴建立平面直角坐标系，所得椭圆方程为： 相比之下，（1）（2）的建系方式所得方程较简洁。 同学们观察右图，当运动到线段AC中点时，两圆半径相等，即，因，则，不妨令，那么（1）（2）所得的椭圆方程可化为： ， （1） ， （2） 我们称（1）（2）为椭圆的标准方程。 理解： 1.所谓椭圆标准方程，一定指的是焦点在坐标轴上，且两焦点的中点为坐标原点； 2．在与这两个标准方程中，都有的要求，也就是说，焦点在哪上轴上，哪个对应的分式的分母就较大。 （五）、应用举例，小结升华。 例1.用定义判断下列动点的轨迹是否为椭圆。 (1)平面内，到的距离之和为6的点的轨迹。（是） (2)平面内，到的距离之和为4的点的轨迹。（不是） (3)平面内，到的距离之和为3的点的轨迹。（不是） 例2.方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围为 例3.已知椭圆方程为，则两焦点坐标为： 小结： 由学生进行总结本节课所学习到的知识和思想方法。 1、知识总