第十二章 微分方程 上课课件.pdfVIP

回顾：在学导数时，曾做过题目： 2 d x 2 : cos + sin , +k x 0 验证 x c1 kt c2 kt 满足方程 2 dt dx 解: −kc 1 sin kt +kc 2 cos kt dt d 2 x 2 2 −k ( c1 cos kt +c2 sin kt ) dtdt d 2 x 将 2 及x 代入满足方程 , 得证! dtdt dd 2 xx 22 该方程该方程 2 +kk x 00与代数方程不同与代数方程不同。 dt 它是它是一个含有函数个含有函数((未知函数未知函数))及函数导数及函数导数 的方程, 这种方程就是一个微分方程. 在不少力学、物理、几 何等问题中, 往往直接寻求变量之间往往直接寻求变量之间 的函数关系不容的函数关系不容 易，但容易建立含有未 知函数及其导数 或微分的关系式。再通 过微分方程的求 解解，，得到变量之间的函得到变量之间的函 数关系数关系。 本章主要介绍微分方程 的一些基本概念和 几种常用微分方程的解 法. 问题的提出问题的提出 微分方程的定义及有关概念微分方程的定义及有关概念 一、问题的提出问题的提出 在说明基本概念前在说明基本概念前, 先看几个简单的例子先看几个简单的例子. 例例11 一条曲线条曲线CC过过点点(( 11,,22 ),), 且在曲线且在曲线CC 上点M (x , y )处的切线斜率k 2x , 求这曲线C的方程. 解解 设曲线设曲线C : y y (x ), dyy 由导数的几何意义由导数的几何意义： 22x ((11)) dx 此外此外 y x 1 2 (2) 2 对对(1) 两边积分两边积分 yy xx ++cc Y yy ∫∫22xdxxdx xx 2 ++cc ((33)) 由(3)说明:满足方程(1) (1,2) 的函数有无穷多个的函数有无穷多个。。 ∵∵曲线过曲线过点点((11,22))，将将x 11, O X y 2代入(3)得, c 1 ∴∴所求曲线为所求曲线为yy ((xx )) xx 2 ++11 ((44))