角平分线 线段的垂直平分线典型题.docVIP

角平分线 线段的垂直平分线典型题 重点难点 (1)掌握角平分线定理及其逆定理，了解逆命题、逆定理的概念。 (2)掌握等腰三角形的性质和判定，掌握等边三角形的性质和判定，能灵活地运用它们进行论证和计算。 (3)了解等腰三角形和等边三角形之间的关系，了解它们的性质和判定定理之间的关系。 (4)掌握线段垂直平分线的性质定理及其逆定理，能够利用它们进行论证。 (5)推理的根据多了，题目复杂了，证明的思路虽然也广了，但做题时也常出现无处下手。 例题分析 例1 如图，已知ABC中，E是AB延长线上的一点，AE=AC，AD平分∠A，BD=BE。求证：∠ABC=2∠C。 分析：通过条件BD=BE，∴可得∠BDE=∠E，而∠ABC是EBD的外角，∴∠ABC= 2∠E，欲证∠ABC=2∠C，只要证∠C=∠E即可。 证明：在AED和ACD中， ∴AED≌ACD（SAS） ∴∠E=∠C（全等三角形的对应角相等） 又∵BD=BE（已知），∴∠BDE=∠E（等边对等角）而∠ABC是EBD的外角， ∴（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和） ∴∠ABC=2∠C（等量代换） 例2 如图中，E是AB延长线上一点，ACBC、ADBD、AC=AD，求证：。 分析：因为∠CEA、∠DEA分别在CEA、DEA或CEB、DEB之中，所以只需证明CEA≌DEA或CEB≌DEB。 证明：∵AC⊥BC、AD⊥BD、AC=AD（已知） ∴∠ABC=∠ABD（到一个角两边距离相等的点，在这个角的平分线上） ∵（垂直定义） ∴（三角形三个内角和等于） ∴∠CAB=∠DAB 在AEC和AED中 ∴AEC≌AED（SAS） ∴∠CEA=∠DEA（全等三角形的对应角相等） 例3 如图，A、B、C三点在同一直线上，分别以AB、BC为边在直线的同旁作等边三角形ABD、BCE，连结AE交BD于M，连结CD交BE于N，连结MN，求证：BMN是等边三角形。 分析：由已知可得，于是；要证BMN是等边三角形，只需证BM=BN即可；要证BM=BN，只需证ABM≌DBN即可。 证明：∵AB=BD=DA、BC=CE=EB（已知） ∴（等边三角形的每一个角都是） ∴（平角定义） 在ABE与DBC中， ∴ABE≌DBC（SAS） ∴∠4=∠5（全等三角形对应角相等） 在ABM与DBN中， ∴ABM≌DBN（ASA） ∴BM=BN（全等三角形对应边相等） ∴BMN是等边三角形（有一个角等于的等腰三角形是等边三角形） 例4 如图， ABC中，AB=AC，在AB上取点D，又在AC延长线上取点E，使CE=BD，连结DE交BC于G点，求证：DG=GE。 分析：欲证DG=GE，作辅助线，构成新的三角形，可过点D作DF // AC交BC于F点，得到DF=DB，可证DFG≌ECG，从而证得DG=GE。 证明：过点D作DF // AC交BC于F点， ∵DF // AC（已作），∴∠DFB=∠ACB（两直线平行，同位角相等） 又∵AB=AC（已知），∴∠B=∠ACB（等边对等角） ∴∠B=∠DFB，∴DF=DB（等角对等边） ∵BD=CE（已知），∴DF=CE。 ∵DF // CE（已作），∴∠DFG=∠ECG（两直线平行，内错角相等） 在DFG和ECG中， ∴DFG≌ECG（AAS） ∴DG=GE（全等三角形对应边相等） 3