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第六章代数 第六章代数 6.1 代数结构 6.2 子代数与积代数 6.3 同态与同构 6.4 群 第六章代数 6.1 代数结构 6.1.1 代数的构成和分类方法 代数通常由3部分组成: 1. 一个集合, 叫做代数的载体 载体是我们将处理的数学目标的集合, 诸如整数、 实数或符号串集合等。一般是非空集合。 第六章代数 2. 定义在载体上的运算 定义在载体S上的运算是从Sm到S 的一个映射, 自然 数m 的值叫做运算的元数。从S到S 的映射, 诸如给定一 个实数x求［x ］, 给定一个整数y 求|y |, 叫做一元运算; 从S2到S 的映射, 诸如数的加法和乘法, 都是二元运算。 常见的是一元和二元运算, 但理论上可定义任意的m元 运算, 例如语句if x≠0 then y else z, 可定义为运算对象 是x 、y 、z 的三元运算。 第六章代数 3. 载体的特异元素, 叫做代数常数 有些代数不含常数。这里所谓“不含”只是说我们研究该代 数时并不关注这些特异元素, 不一定是真的没有。 代数通常用载体、运算和常数组成的n重组表示。 例1 a 整数、加法和常数0可构成一个代数。 1 载体是整数集合I ｛…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3… ｝。 2 定义在I上的运算是加法 记为+ 。 3 常数是0 。 这个代数可记为〈I, +, 0〉。 第六章代数 φ b 幂集合ρ S 、并、交、补、　和S可构成一个代 数。 1 载体是S 的幂集合ρ S 。 2 定义在载体上的运算是: 二个二元运算∪和∩、 一个一元运算。 φ 3 常数是　和S 。 φ 这个代数可记为〈ρ S , ∪, ∩, , 　, S 〉。 第六章代数 在不产生误解的情况下, 标示代数的记号可以简化, 不一定将 所有成分都写出, 有时常数可以不写, 有时仅用载体标记该代数。 通常我们不去研究单个具体的代数, 而是一个种类一个种类 地去研究。为此, 我们首先要知道什么样的两个代数是同一种类 的。 第一, 要有相同的构成成分。如果两个代数包含同样个数的 运算和常数, 且对应运算的元数相同, 则称两个代数有相同的构成 成分。 第六章代数 例2　 a 代数〈N, ·,1〉和〈I, , 0〉有同样的构成成分, 因 为都有一个二元运算和一个常数。 φ b 代数〈｛0, 1 ｝, ∨, ∧, 0, 1〉和〈ρ S , ∪, ∩, 　, S 〉有 相同的构成成分。两个代数有相同的构成成分, 还不一定有本质 的联系, 如例2 a 就是这样。因此 第二, 要有一组相同的称为公理的规则。这里每一公理是用 载体元素和代数运算的符号写成的方程。 具有相同构成成分和服从相同公理集合的代数称为同种类的。 对同一种类的代数, 根据它的公理推出的一切定理, 对该种类的一 切代数都成立。 第六章代数 例3 a 考虑具有〈N, +, 0〉形式的构成成分和下述公理的代数类。 1 a+b b+a 2 a+b +c a+ b+c 3 a+0 a 那么〈I, ·, 1〉, 〈ρ S , ∪, 　〉和〈R, min, +∞〉 这里R是包 φ 含+∞的非负实数 等, 都是这一种类的成员。关于这一类证明了 的定理, 对这些特定的代数都成立。 第六章代数 b 考虑具有〈I, +, ·, -, 0, 1〉形式构成成分和下述公理的代 数类 这里“-”是一元运算 。 1 a+b b+a 5 a · b+c a ·b+a ·c 2 a ·b b ·a 6 a+ -a 0 7 a+0 a 3 a+b +c a+ b+c 8 a ·1 a 4 a ·b ·c a · b ·c 那么〈Q, +, ·, -, 0, 1〉和〈R, +, ·, -, 0, 1〉是同类代数, 但 - 〈ρ S , ∪, ∩, -, 　, S 〉, 这里“ ” 表示集合的非, 是不同类的, 因 为公理 6 对这个代数不成立。 第六章代数 6.1.2 么元和零元 定义6 . 1 - 1 设* 是S 上的二元运算, 1 l 是S 的元素, 如果对S 中的每一元素x, 有 1 * x x l 则称1 对运算*是左么元。S 中的元素0 , 如果对S 中的每一元素x, l l 有 0 *x 0 l l 则称0 对运算是左零元。 l 类似地可定义出右么元1 和右零元0 。 r r 第六章代数 例4 代数A 〈 a, b, c , 〉用右表定义, 表中位于x行和y 列交 叉点的元素是x 。y 的值。可以看出a和b都是右零, 无左零; b是 。 左么, 无右么 运算既不能结合