例析配方法的应用.docVIP

例析配方法的应用 配方法是中学数学中恒等变形的重要方法之一，也是中学生应掌握的基本技能之一.本文就结合一些实例，谈谈巧用配方法解决一类高中的数学问题，供读者复习参考. 题型1 求最值 例1 （第23届“希望杯”高一第一试题）已知是正实数，且则的最小值是 . 解 因为所以故= =.当且仅当时，取最小值1.故的最小值是1. 点评 本题还有其它多种方法，不过都没有配方法来的自然. 例2 求的最小值. 解 因为== ==.当且仅当时，即或时，，故的最小值为3. 点评 本题通常用求导法求解，比较繁琐，没有用配方法来的简洁. 例3 （2013年山东高考）设正实数满足则当取最大值时，的最大值为（ ） （B） （C） （D） 解 由配方，得， 故，=.因此，当取最大值时，， 又=1，可得.于是===. 当且仅当时，上式取等号，所以的最大值为1，故选B. 点评 本题先运用配方法消元后，再用配方法求最值.整个解题思路流畅，过程简单 题型2 求函数值域 例4 （2013年湖北高中联赛预赛题）求函数的值域. 解 因为== 由于，所以.故函数的值域为. 点评 本题通常通过分类讨论与繁琐的等价变形求解，其实，考虑到函数解析式的结构，用配方法解决更简单明了. 题型3 求参数值 例5 （2013江苏高考）在平面直角坐标系中，设定点是函数图像上一动点.若点、之间的最短距离为，则满足条件的实数的所有值为 解 设点则 =. 设，则此时. 当时，因为所以当时，，解得或（舍去）； 当时，因为，所以当时，，解得，或（舍去）. 综上：满足条件的实数的所有值为. 点评 本题是先知道最小值，故先运用配方法转化为二次函数，在讨论在什么时候取最小值，从而得到参数的值.此过程条理清晰，学生容易掌握. 题型4 向量中的应用 例6 在中，则的最小值. 解 因为，所以，于是 ==，当时，的最小值为 例7 （2013年浙江高考）设为单位向量，非零向量. 若的夹角为则的最大值. 解 因为，故 ===，当且仅当时，取等号. 因此的最大值为2. 点评 有关向量模的最值问题通常通过平方转化为二次函数，再运用配方法就能水到渠成. 从以上实例可以看出，利用配方法解决一些数学问题题，虽然技巧性很强，但有固有的解题模式.因此，要合情合理的分析问题，多从式子的形式结构去探究，找联系，结合已有的数学知识进行适当的分析联想，大胆尝试，只有这样，才能打开思路，找准解题方法.