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第三章 机器人运动学 第3章 机器人运动学 第3章 机器人运动学 运动学基本问题 运动学基本问题 运动学基本问题 我们引入向量分别表示手爪位置和关节变量， 因此，利用上述两个向量来描述一下这个2自由度机器人的运动学问题。 手爪位置的各分量， 按几何学可表示为： 用向量表示这个关系式，其一般可表示为 式中 表示向量函数。已知机器人的关节变量 ，求其手爪位置的运动学问题称为正运动学（direct kinematics）。该公式被称为运动方程式。 运动学基本问题--逆问题 如果，给定机器人的手爪位置，求为了到达这个预定的位置，机器人的关节变量的运动学问题称为逆运动学（inverse kinematics）。 其运动方程式以2自由度机械手为例，通过以下分析说明。 如图为逆运动学问题（知位置，求分量），可得 同样，如果用向量表示上述关系式，其一般可表示为 第3章 机器人运动学 机器人的位置和姿态 机器人的位姿 第3章 机器人运动学 齐次变换及运算 齐次变换及运算 齐次变换及运算 齐次变换及运算 齐次变换及运算 齐次变换及运算 第3章 机器人运动学 机器人运动学方程 机器人运动学方程 第3章 机器人运动学 第3章 机器人运动学 习 题 习 题 END 解：（3）逆解数学表达式联立方程： 解：（3）逆解数学表达式联立方程： 解：（3）逆解数学表达式 由上面（a）、（b）两式可得 ： 由上面（c）、（d）两式平方再相加可得 ： 由上面（c）、（d）两式展开可得 ： 由上面两式可得 ： 已知θ1，θ2可得 ： 最后由（e)式可得 ： 齐次坐标变换矩阵的意义 若将齐次坐标变换矩阵分块，则有： 意义：左上角的3×3矩阵是两个坐标系之间的旋转变换矩阵，它描述了姿态关系；右上角的3×1矩阵是两个坐标系之间的平移变换矩阵，它描述了位置关系，所以齐次坐标变换矩阵又称为位姿矩阵。 齐次坐标变换 单独平移变换的齐次矩阵为： 齐次坐标变换 单独旋转变换的齐次矩阵为： 齐次坐标变换 当空间有任意多个坐标系时，若已知相邻坐标系之间的齐次坐标变换矩阵，则由坐标变换原理可知： 由此可知，建立机器人的坐标系，可以通过齐次坐标变换，将机器人手部在空间的位置和姿态用齐次坐标变换矩阵描述出来，从而建立机器人的运动学方程。 齐次坐标变换 {0} {i-1} {i} {n} 例：已知B坐标系是绕A坐标系的z轴旋转90°，再绕x轴旋转90°，最后沿矢量 平移得到的，求A坐标系与B坐标系之间的齐次坐标变换矩阵。 齐次坐标变换 解：由于变换始终是相对于原来的参考坐标系，即有： 四、机器人运动学方程 运动学方程建立步骤 （1）建立坐标系 （2）写位姿矩阵 （3）建立方程 建立坐标系 ①机座坐标系{0} ②杆件坐标系{i} i=1，2，…，n ③手部坐标系{h} 机座坐标系{0} 建立原则： Z轴是旋转轴， x轴水平。 杆件坐标系{i} 建立原则： 坐标系一般设在杆件始端关节， z轴与关节轴线重合、是旋转轴， x轴与杆件轴线重合、方向指向下一个杆件。 手部坐标系{h} 建立原则： 与n坐标系保持一致或重合。 例：已知三自由度平面关节机器人如图所示，设机器人杆件1、2、3的长度为l1，l2，l3。建立机器人的运动学方程。 l1 l3 l2 解：（1）建立坐标系 a、机座坐标系｛0｝ b、杆件坐标系｛i｝ c、手部坐标系｛h｝ （与末端杆件坐标系 ｛n｝方向一致） l1 l3 l2 x0 y0 y1 x1 y2 x2 y3 x3 yh xh 解：（2）位姿矩阵 l1 l3 l2 x0 y0 y1 x1 y2 x2 y3 x3 yh xh θ3 θ2 θ1 l1 l3 l2 x0 y0 y1 x1 y2 x2 y3 x3 yh xh θ3 θ2 θ1 l1 l3 l2 x0 y0 y1 x1 y2 x2 y3 x3 yh xh θ3 θ2 θ1 l1 l3 l2 x0 y0 y1 x1 y2 x2 y3 x3 yh xh θ3 θ2 θ1 解：（3）建立方程 将相邻杆件位姿矩阵依次相乘，则有： 用矩阵形式表示： 得到方程组： 五、运动学方程求解 运动学方程的模型： M0h=f(qi)， i=1，…，n 正问题：已知关节变量qi的值，求手在空间的位姿M0h。 逆问题：已知手在空间的位姿M0h，求关节变量qi的值。 （1）运动学方程的正解 正问题：已知关节变量qi的