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2001-2010考研数学一试题及答案解析 安庆师范学院09计1班 2001年全国硕士研究生入学统一考试 数学一试题 一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上.) (1)设y?ex为某二阶常系数线性齐次微分方程的通(C1sinx?C2cosx)(C1,C2为任意常数） 解,则该方程为_____________. (2)设r?x2?y2?z2,则div(gradr)(1,?2,2)=_____________. (3)交换二次积分的积分次序: 2?0?1dy?1?y2f(x,y)dx＝_____________. ?1(4)设矩阵A满足A?A?4E?0,其中E为单位矩阵,则(A?E)=_____________. (5)设随机变量X的方差是2,则根据切比雪夫不等式有估计 P{X?E(X)?2}? _____________. 二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.) (1)设函数f(x)在定义域内可导,y?f(x)则y?f?(x) 的图形为 (2)设f(x,y)在点(0,0)附近有定义,且 (A) fx?(0,0)?3,fy?(0,0)?1,则 dz|(0,0)?3dx?dy. (B) 曲面z?f(x,y)在(0,0,f(0,0))处的法向量为{3,1,1}. 1 安庆师范学院09计1班 (C) 曲线??z?f(x,y)在(0,0,f(0,0))处的切向量为{1,0,3}. ?y?0 ?z?f(x,y)在(0,0,f(0,0))处的切向量为{3,0,1}. y?0?(D) 曲线? (3)设f(0)?0,则f(x)在x=0处可导的充要条件为 1f(1?cosh)存在. h?0h2 1(C) lim2f(h?sinh)存在. h?0h(A) lim 1f(1?eh)存在. h?0h1(D) lim[f(2h)?f(h)]存在. h?0h(B) lim ?1?1(4)设A???1??1111111111??4?01??,B???01???1??0 000000000?0??,则A与B 0??0?(A) 合同且相似. (C) 不合同但相似. (B) 合同但不相似. (D) 不合同且不相似. (5)将一枚硬币重复掷n次,以X和Y分别表示正面向上和反面向上的次数, 则X和Y的相关系数等于 (A)-1. 三、(本题满分6分) (B) 0. (C) 1. 2 (D) 1. arctanex . 求?e2x 四、(本题满分6分) 设函数z?f(x,y)在点(1,1)处可微,且f(1,1)?1,?f?f|(1,1)?2,|(1,1)?3,?(x)?f(x, ?x?y f(x,x)).求 d3?(x)dxx?1. 五、(本题满分8分) 2 安庆师范学院09计1班 ??1? xxarctanx,x?0,(?1)n设f(x)=?将f(x)展开成x的幂级数,并求级数?的和. 2x?0,1,n?11?4n?2 六、(本题满分7分) 计算I? 面L(y2?z2)dx?(2z2?x2)dy?(3x2?y2)dz,其中L是平面x?y?z?2与柱x?y?1的交线,从Z轴正向看去,L为逆时针方向. 七、(本题满分7分) 设f(x)在(?1,1)内具有二阶连续导数且f??(x)?0,试证: (1)对于(?1,1)内的任一x?0,存在惟一的?(x)?(0,1),使f(x)=f(0)+xf?(?(x)x)成立; (2)lim?(x)?x?01. 2 八、(本题满分8分) 2(x2?y2)设有一高度为h(t)(t为时间)的雪堆在融化过程,其侧面满足方程z?h(t)?(设h(t) 长度单位为厘米,时间单位为小时),已知体积减少的速率与侧面积成正比(比例系数为0.9),问高度为130(厘米)的雪堆全部融化需多少小时? 九、(本题满分6分) 设?1,?2,?,?s为线性方程组Ax?0的一个基础解系,?1?t1?1?t2?2,?2?t1?2?t2?3,?, ?s?t1?s?t2?1,其中t1,t2为实常数.试问t1,t2满足什么条件时,?1,?2,?,?s也为Ax?0的一个基础解系. 十、(本题满分8分) 2已知3阶矩阵A与三维向量x,使得向量组x,Ax,Ax线性无关,且满足Ax?3Ax?2Ax. 32 (1)记P=（x,Ax,A (2)计算行列式 2x）,求3阶矩阵B,使A?PBP?1; A?E. 3 安庆师范学院09计1班 十一、(本题满分7分) 设某班车起点站上客人数X服从参数为?(??0)的泊松分布,每位乘客在中途下车的概率为p(0?p?1),且中途下车与否相互独立.以Y表示在中途下车的人数,求: (1)在发车时有n个乘客的条件下,中途有m人下车的概率; (2)二维随机