结构动力响应精细积分级数解并行计算.docVIP

结构动力响应精细积分级数解的并行计算 李渊印1 金先龙1 1(上海交通大学高性能计算中心 上海 200030) (lyy@sjtu.edu.cn) 摘 要 精细积分法比传统积分方法更适合并行计算，对大型结构进行动力响应分析，存储空间是一个必须考虑的问题；在分析精细积分多种算法的基础上，指出级数解最有利于求解大型结构的动力响应分析。采用基于直接积分法的并行算法对精细积分级数解实施并行计算，给出了相应的实现流程，算例表明，算法具有良好的加速比。讨论了影响算法并行效率的因素及提高途径。 关键词 动力响应；精细积分；级数解；并行算法 1 引 言( 文献[1]中提出的精细积分法，由于其数值结果的高度精确，已经在结构动力分析[2]、优化控制[3]、偏微分方程的精细求解[4]、非稳态随机动力学[5]等领域得到了广泛应用。 求解大型结构动力响应问题非常耗时，发展相应的并行算法成为必然。精细积分法的主要运算是矩阵向量运算，与传统的积分方法相比更适合于并行计算。一些研究者发展的精细积分并行算法，对时间步实施粗粒度并行化，通讯量低，获得了很好的并行效率[6~8]。这些并行算法可分成两类：基于特解的并行算法和基于直接积分法的并行算法。此二种算法均可处理任意载荷的情况，前者是通过Fourier展开来实现的。 对大型结构进行动力响应分析，存储空间是一个必须考虑的问题。状态方程的精细积分求解包含两项，第一项是指数矩阵向量乘，指数矩阵是精细求解的，是满阵，这是精细积分法的特点。至于第二项，任意载荷函数的Fourier展开需要状态矩阵自乘以及矩阵求逆，直接积分法则是借助指数矩阵（不同于第一项中的指数矩阵）来完成的，因此都是建立在满阵基础上的。实际上，第二项是可以完全避免满阵的。为此，引入精细积分法的级数解[9]，该方法是在非线性结构动力方程的求解中提出的，但可直接应用于线性情况，而且更简化。级数解使得第二项的求解仅与状态矩阵有关，而状态矩阵可以是稀疏的，需要少量的存储空间。 本文采用基于直接积分法的并行算法对精细积分级数解实施并行计算，并讨论了其加速性，指出了提高算法并行效率的途径。 2 结构动力方程的积分 结构动力响应的基本方程为 (1) 其中、和分别是加速度、速度和位移向量，M、C、K和f(t)分别是质量矩阵、阻尼矩阵、刚度矩阵和节点载荷向量。 通过引入对偶变量[1]，可以将(1)式转化成状态方程，但此时得到的状态矩阵未必稀疏。为此，首先在(1)式两端同时乘以M-1并移项 (2) 引入变换 (3) (2)式可以写成状态方程形式 (4) 在有限元方法中，可以采用集中质量矩阵，此时M和M-1为对角阵。又K和C稀疏且对称，故M-1K和M-1C也稀疏，从而状态矩阵H稀疏。 (4)式的解为 (5) 其中，文献[1]中给出了的精细求解方法。 在数值计算中，若把载荷作用的时间域划分成N等份，各分点，这里τ为时间步长，有，k=0，1，…，N，上式可写成 (6) 其中k=1，2，…，N。 3 精细积分级数解 为了对(6)式进行积分，将在处展开成的Taylor级数 (7) 其中，k=0, 1, 2, … 将(7)式代入(6)式，其中包含的第j项积分Tj为 (8) 令z-tk-1=s，则 (9) 又令，则 (10) 把指数矩阵展开成如下的无穷矩阵级数 (11) 将(11)式代入(10)式，其中包含的第m项积分为 (12) 于是 (13) 把各代入(6)式，经过整理可得到如下的时程积分公式 (14) 在上式的推导过程中，已充分注意到矩阵与向量相乘的不可交换性。利用(14)式和初值，可逐步求出各时刻的状态向量，无需回代。文献[9]中对该算法的误差进行了讨论，并给出了提高计算精度的合理做法，这些同样适用于(14)式。 4 精细积分级数解的并行计算 4.1 算法描述 分析(6)式，第一项计算很简单，只是一次矩阵向量乘，而第二项的计算量要复杂得多。由于第二项与状态向量v无关，各时间步的该项积分是相互独立的，可由多个处理器独立并行计算，且不需任何通信。于是算法可描述如下[7]： 设处理器数为p，总时间步数为N，将N分成p组，每组Nj步，j=1, 2, …, p。Nj的算法为 (15) 其中，，这里是取下整函数。 并行计算的流程图可图示如下： 图1 级数解并行计算的流程图 4.2 算法讨论 为了避免稠密矩阵，(14)式中涉及的矩阵向量乘如下实现 (16) 现在分析算法的计算量，(14)式的计算全是矩阵向量乘和向量加，忽略向量加。记变量j, m的最大值分别为J, M，则完成第二项需要次矩阵向量乘，而第一项仅需一次矩阵向量乘。根据前面的并行算法描述，串行计算量占整个计算工作量的比重为 (17) 根据加速比的Amdal