（高考复习课件）容斥原理.docVIP

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2017-09-02 发布于江西
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（高考复习课件）容斥原理.doc

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容斥原理一、 ? ?知识要点1、容斥原理? 在计数时，常常遇到这样的情况，作合并运算时会把重复的部分多算，需要减去；作排除运算时会把重复部分多减，需要加上，这就是容斥原理。它的基本形式是：? 记A、B是两个集合，属于集合A的东西有个，属于集合B的东西有个，既属于集合A又属于集合B的东西记为，有个；属于集合A或属于集合B的东西记为，有个，则有： = + - 容斥原理可以用一个直观的图形来解释。如图，左圆表示集合A，右圆表示集合B，两圆的公共部分表示，两圆合起来的部分表示，由图可知： = + - 容斥原理又被称作包含排除原理或逐步淘汰原则。二、 ? ?例题精讲例1 在1到200的整数中，既不能被2整除，又不能被3整除的整数有多少个？分析：根据容斥原理，应是200减去能被2整除的整数个数，减去能被3整除的整数个数，还要加上既能被2整除又能被3整除，即能被6整除的整数个数。100，共100个；(2，…，2(1，2(解：在1到200的整数中，能被2整除的整数个数为：2? 66，共66个；(2，…，3(1，3(在1到200的整数中，能被3整除的整数个数为：3在1到200的整数中，既能被2整除又能被3整除，即能被6整除的整数个数为： 33，共33个；(2，…，6(1，6(6所以，在1到200的整数中，既不能被2整除，又不能被3整除的整数个数为：200-100-66+33=67(个)例2 求1到100的自然数中，所有既不是2的倍数又不是3的倍数的整数之和S。解：1到100的自然数中，所有自然数的和是：1+2+3+…+100=50501到100的自然数中，所有2的倍数的自然数和是：(1+2+3+…+50)=(50=2(2+…+2(1+2(2 1275=2550(21到100的自然数中，所有3的倍数的自然数和是：(1+2+3+…+33)=(33=3(2+…+3(1+3(3 561=1683(3(1+2+3+…+16)=(16=6(2+…+6(1+6(1到100的自然数中，所有既是2的倍数又是3的倍数，即是6的倍数的自然数和是：6 136=816(6所以，1到100的自然数中，所有既不是2的倍数又不是3的倍数的整数之和S=5050-2550-1683+816=1633例3求不大于500而至少能被2、3、5中一个整除的自然数的个数。分析：如图，用3个圆A、B、C分别表示不大于500而能被2、3、5整除的自然数，? 表示既能被2整除又能被3整除的自然数? 表示既能被2整除又能被5整除的自然数? 表示既能被3整除又能被5整除的自然数? 表示既能被2整除又能被3整除，还能被5整除的自然数由图可看出：属于A、B、C之一的数的个数为：+ + -( + + )+ 解：不大于500且能被2整除的自然数的个数是：250不大于500且能被3整除的自然数的个数是：166不大于500且能被5整除的自然数的个数是：100不大于500既能被2整除又能被3整除，即能被6整除的自然数的个数是：83不大于500既能被2整除又能被5整除，即能被10整除的自然数的个数是：50不大于500既能被3整除又能被5整除，即能被15整除的自然数的个数是：33不大于500既能被2整除又能被3整除，还能被5整除，即能被30整除的自然数的个数是：16由容斥原理得：不大于500而至少能被2、3、5中一个整除的自然数的个数是：? ? ? ? 250+166+100-(83+50+33)+16=366例4 求前200个正整数中，所有非2、非3、非5的倍数的数之和。解：前200个正整数的和是：1+2+3+…+200=20100前200个正整数中，所有2的倍数的正整数和是：(1+2+3+…+100)=(100=2(2+…+2(1+2(2 5050=10100(2前200个正整数中，所有3的倍数的正整数和是：(1+2+3+…+66)=(66=3(2+…+3(1+3(3 6633前200个正整数中，所有5的倍数的正整数和是：(1+2+3+…+40)=(40=5(2+…+5(1+5(5 4100(1+2+3+…+33)=(33=6(2+…+6(1+6(前200个正整数中，所有既是2的倍数又是3的倍数，即是6的倍数的正整数和是：6 3366(1+2+3+…+20)=(33=10(2+…+10(1+10(前200个正整数中，所有既是2的倍数又是5的倍数，即是10的倍数的正整数和是：10 2100(1+2+3+…+13)=(13=15(2+…+15(1+15(前200个正整数中，所有既是3的倍数又是5的倍数，即是15的倍数的正整数和是：15 1365(1+2+3+4+5+6)=(6=30(