奇异积分算子的L-%27p-有界性与次线性算子在齐次乘积Herz空间上的有界性.docVIP

信息工程大学硕士学位论文 摘  要 本文运用经典调和分析的理论和方法，研究了奇异积分算子的有界性和次线性算子 在乘积Ｈｅｒｚ空间上的有界性。其中，在第二章确立了奇异积分算子Ｐ（Ｒ“）有界性与某些 弱型估计的关系，给出了新的等价条件。在第三章给出了齐次乘积Ｈｅｒｚ空间的定义，并结 合已有的次线性算子在Ｈｅｒｚ空间上有界性的结论，研究了满足一定条件的次线性算子在齐 次乘积Ｈｅｒｚ空间上的有界性，并得到相应定理。 关键字奇异积分算子，Ｐ有界性，次线性算子，齐次乘积Ｈｅｒｚ空问 Ａｂａｓｔｒａｃｔ Ｉｎ ｔｈｉｓ  ｐａｐｅｒ，ｔｈｅＬＰ（Ｒ”）（１＜Ｐ＜００）ｂｏｕｎｄｅｄｎｅｓｓ  ｆｏｒ  ｔｈｅ ｓｉｎｇｕｌａｒ ｉｎｔｅｇｒａｌ ｏｐｅｒａｔｏｒ．ａｎｄ ｔｈｅ ｂｏｕｎｄｅｄｎｅｓｓ ｏｆ ｓｕｂｌｉｎｅａｒ ｏｐｅｒａｔｏｒｓ  ｏｎ  ｔｈｅ ｈｏｍｏｇｅｎｅｏｕｓ ｐｒｏｄｕｃｔ Ｈｅｒｚ ｓｐａｃｅ  ａｌｅ  ｓｔｕｄｉｅｄ．Ｉｎ ｃｈａｐｔｅｒ ２，ｔｈｅ ｒｅｌａｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ Ｌｐ＠”）ｂｏｕｎｄｅｄｎｅｓｓ ａｎｄ ｓｏｍｅ ｗｅａｋ ｔｙｐｅ ｅｎｄｐｏｉｎｔ ｅｓｔｉｍａｔｅ ｆｏｒ ｔｈｅ ｓｉｎｇｕｌａｒ ｉｎｔｅｇｒａｌ ｏｐｅｒａｔｏｒ ｉｓ ｅｓｔａｂｌｉｓｈｅｄ．Ｓｏｍｅ ｎｅｗ ｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓ ｗｈｉｃｈ ｉｓ ｅｑｕｉｖａｌｅｎｔ ｔｏ ｔｈｅ （Ｒ”）ｂｏｕｎｄｅｄｎｅｓｓ ｏｆ ｔｈｅ  ｓｉｎｇｕｌａｒ  ｉｎｔｅｇｒａｌ  ｏｐｅｒａｔｏｒ ａｌｅ  ｇｉｖｅｎ．Ｉｎ ｃｈａｐｔｅｒ  ３，ｔｈｅ ｈｏｍｏｇｅｎｅｏｕｓ ｐｒｏｄｕｃｔ Ｈｅｒｚ ｓｐａｃｅ ａｒｅ ｄｅｆｉｎｅｄ ａｎｄ ｓｏｍｅ ｓｕｆｆｉｃｉｅｎｔ ｃｏｎｄＲｉｏｎｓ ｗｈｉｃｈ ｉｍｐｌｙ ｔｈｅ ｂｏｕｎｄｅｄｎｅｓｓ ｏｆ ｓｕｂｌｉｎｅａｒ ｏｐｅｒａｔｏｒ ｏｎ ｈｏｍｏｇｅｎｏｕｓ ｐｒｏｄｕｃｔ Ｈｅｒｚ ｓｐａｃｅ ａｌｅ ｇｉｖｅｎ Ｋｅｙｗｏｒｄｓ ｓｉｎｇｕｌａｒ ｉｎｔｅｇｒａｌ ｏｐｅｒａｔｏｒ，ｂｏｕｎｄｅｄｎｅｓｓ ｏｆ，ｓｕｂｌｉｎｅａｒ ｏｐｅｒａｔｏｒｓ，ｈｏｍｏｇｅｎｅｏｕｓ ｐｒｏｄｕｃｔ Ｈｅｒｚ ｓｐａｃｅ 信息工程大学硕士学位论文 第一章  引言 调和分析或Ｆｏｕｒｉｅｒ分析的起源可追溯到Ｅｕｌｅｒ，Ｆｏｕｒｉｅｒ等著名数学家的研究，现在它 已成为数学的核心科学之一。调和分析既具有数学理论的完美性，又有数学应用的广泛性。 它不仅在数学的理论发展中起着重要作用，在许多应用领域：如信号分析、图像处理、计 算机识别、数据处理、边缘检测、音乐合成等也有很好的应用。它是纯粹数学与应用数学 殊途同归的一个光辉例子。由于调和分析是吸收各学科的方法理论发展起来的－１＂７学科， 所以它同时又对各门学科具有广泛的方法工具意义。 奇异积分算子的研究历来是调和分析研究中的重要内容。它的发展共经历了三代。第 一代奇异积分算子，即经典奇异积分箕子的开创性工作是由Ａ．Ｐ．ｒｏｎ和Ｚｇｍｕｎｄ于１９５２年 开始的。第二代奇异积分算予即伪微分算子，它的理论是由Ｊ．Ｋｏｈｎ，Ｌ．Ｎｉｒｅｎｂｅｒｇ与Ｌ ＨＳｒｍａｎｄ等于２０世纪六七十年代建立起来的。第三代奇异积分算子是Ｃａｌｄｅｒ６ｎ－Ｚｙｇｍｕｎｄ 奇异积分算予，由Ｒ．Ｃｏｉｆｍａｎ与Ｙ．Ｍｅｙｅｒ于１９７８年引进了并建立了它的一般理论。与前两 代算予相比，Ｃａｌｄｅｒ６ｎ．Ｚｙｇｍｕｎｄ奇异积分算子不仅包括了经典的卷积型奇异积分算子，还 包含大量本质上是非卷积型的算子。这种算子在Ｆｏｕｒｉｅｒ分析，复分析，偏微分方程，位势 论，算子理论，非线性分析与概率论中都有许多应用。自２０世纪８０年代以来， Ｃａｌｄｅｒ６ｎ－Ｚｙｇｍｕｎｄ奇异积分算子得到了广泛的关注与研究。 本文将在第二章研究奇异积分算予的口（则）有界性与某些弱型估计的关系。 １９５７年著名数学家Ｓｔｅｉｎ建立了一个著名的结论［６ｌ，对于具有标准尺寸条件的奇异积 分算予，其∥（１＜Ｐ＜ｏＯ）有界性自动隐含了它在幂权Ｐ上的有界性。１９９４年，Ｓｏｒｉａ和 Ｗｅｉｓｓ【９】推广了Ｓｔｅｉｎ的结论，证明了一个次线性算子的核如果满足某种尺寸的条件，则其口 （１＜Ｐ＜ｏＯ）有界性仍自动隐含了它在幂权Ｆ上的有界性，特别的是Ｓｏｒｉａ和Ｗｅｉｓｓ对ｐ＝ｌ 也建立了类似的结论（弱型有界性）。之后，胡国恩，陆善镇和杨大割Ｄ】于１９９９年建立了 Ｈｅｒｚ空间上次线性算子的有界性，进一步推广了Ｓｏｆｉａ和Ｗｅｉｓｓ的结论。但是，胡国恩，陆 善镇和杨大春的结论不能适用于奇异积分和ＢＭＯ函数构成的交换子。２