调和级数悖论的剖析桂林航天工业高等专科学校学报.docVIP

调和级数悖论的剖析 ——与张慧老师商榷 蒋晓云1 罗国湘2 （1桂林师专数学与计算机科学系 广西桂林 541001； 2 桂林航天工业高等专科学校 广西桂林 541004 ） 【摘要】张慧老师在文献[1]宣称证明了调和级数是一个既收敛又发散的级数，并认为这一悖论的发现是数学理论上的一个突破。经过剖析发现文献[1]中调和级数收敛性证明是错误的。 【关键词】调和级数；收敛性；归纳法。 大家都知道费马是一位声望极高的数学家，他在研究了由公式给出的自然数（后人称为费马数），发现都是素数，他曾猜想：对任意一个自然数n，费马数都是素数。然而，十八世纪的瑞士数学家欧拉却发现。大数学家费马的错误告诉我们：单纯的枚举归纳法和直觉可能会欺骗我们，从而导致错误。 文献[1]宣称证明了调和级数是一个既收敛又发散的无穷级数，如果这一调和级数悖论真正成立的话，微积分就又得要另起炉灶。其实文献[1]中调和级数的收敛性证明又是直觉导致的错误，笔者对文献[1]的证明过程进行了剖析： 调和级数中去掉分母中含有9的项，剩余项构成的新级数： （1） 文献[1]先证明（1）是（绝对）收敛的，这是很多文献已发现的一个事实（如文献[2]）。 文献[1]再考虑调和级数分母中含有9的项组成的新级数 （2） 由于（2）中分母为一位数的各项之和的小于级数（1）中分母为一位数的各项之和；（2）中分母为两位数的各项之和小于（1）中分母为两位数的各项之和。（2）中的小于级数（1）中分母为三位数的各项之和，……，而级数（1）是绝对收敛的，所以级数（2）也是绝对收敛的。从而也是绝对收敛的，再将此级数各项由大到小重新排列所得到的级数正好是调和级数，由绝对收敛级数的性质得：调和级数也是绝对收敛的。 文献[1]的作者凭借经常接触的1位数、2位数和3位数的直觉和经验加以类推，得到“含有9的n位自然数”远少于“不含9的n位自然数”，从而得出：“级数（2）中分母为n位数的各项之和”小于“级数（1）中分母为n位数的各项之和”。 我们平时很少接触“巨大”的自然数，事实上绝大多数“巨大自然数（位数很多）”都含有9，这和人们的直观感觉正好相反。因为所有的n位数共有个，不含数字9的n位数为，所以不含数字9的n位数所占比例为，当时这个比例趋于零，这表明，当n较大时，不含9的整数相对地要非常的稀少，或者说当n充分大时，几乎所有的n位整数都含有数字9。因此，从某个充分大的自然数n以后，级数（2）中分母为n位数的各项之和远远大于级数（1）中分母为n位数的各项之和，从而级数（2）的收敛性的证明是错误的。 文献[1]的证明再次提示我们：解决数学问题的信念一般是将经验和直觉加以类推（类比和推广）而得到，一切理论和逻辑推理奠基于人们的直接经验。然而，直觉把握不了的东西也很多，一般地，太大、太小、太快、太慢、太远等等，都是人们感觉难以把握的。这里，我们必须付诸逻辑（证明、计算）的手段。 参考文献： [1] 张慧. 既收敛又发散的无穷级数[J]. 陕西科技大学学报,2004,22(4). [2] R.Honsberger. 一个奇妙的级数[J]. 数学译林，1982,1(4). １