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第七章 定积分的应用 第一、二节 微元法、平面图形的面积、体积 思考题 1. 什么叫微元法？用微元法解决实际问题的思路及步骤如何？ 答：微元法就是运用“无限细分”和“无限累积”两个步骤解决实际问题的一种方法，具体说来，即是对在区间上分布不均匀的量，先将其无限细分，得其微元然后将微元在上无限求和（累积）,即得所求量，求微元时，一般是对的子区间对应的部分量，采用以“常代变”，“均匀代替不均匀”，“直代曲”的思路. 2. 求平面图形的面积一般分为几步？ 答：一般分为（1）画图,（2）选定积分变量并给出积分区间,（3）确定被积函数并写出积分表达式,（4）计算定积分求得面积四个步骤. 习 题 1. 求曲线与轴围成的平面图形的面积. 解：如图，由得两曲线交点（1，1）. 取为积分变量，, 所求面积 . 2. 用定积分求底圆半径为，高为的圆锥体的体积. 解：建立如右图坐标系，则圆锥体可看成是由直线 及轴所围成三角形绕轴旋转一 周而成，故圆锥体体积 . 3. 用定积分求由所围平面图形绕轴旋转一周所得旋转体的体积. 解：如右图，所求体积 ==. 第四、五节 定积分的物理应用与经济应用举例 思考题 1. 设一物体受连续的变力作用, 沿力的方向作直线运动，则物体从运动到, 变力所做的功为 = ， 其中 为变力使物体由内的任一闭区间的左端点?到右端点所做功的近似值，也称其为 . 答： 功的微元. 2. 如何计算铅直放置在液体中的曲边梯形薄板的侧压力？ 答：以液体深度作为积分变量，利用同一深度处压强相等这一物理学知识，考虑深度层所对应的一层薄板所受压力的近似值，即得压力微元，将在曲边梯形薄板所处深度区间上积分，即得薄板所受侧压力. 3. 如何求一个密度不均匀分布的直杆的质量，试举例说明. 答：如右图，设直杆位于轴上的区间[0, ]， 对应的密度为（不为常数），取为积分变量，任取子区 间，对应直杆段的质量近似为 , 于是所求直杆质量 . 习 题 1. 一个底半径为，高为的圆柱形水桶装满了水，要把桶内的水全部吸出，需要做多少功（水的密度为）？ 解：建立如图坐标系. 取为积分变量, , 任取子区间， 相应一薄层水被抽到桶外需做的功近似为 , 于是，把桶内的水全部吸出，需做功 . 2. 一边长为的正方形薄板垂直放入水中，使该薄板的上边距水面1，试求该薄板的一侧所受的水的压力（水的密度为, 取）. 解：建立如图坐标系，取为积分变量,任取子区间 相应一薄层薄板一侧所受的水的压力近似为 , 于是，正方形薄板一侧所受的水的压力为 = =. 1 2 1 +d +1 1