高二数学《函数的最大(小)值与导数》练习题及答案.docVIP

1．3.3　函数的最大(小)值与导数 1．函数y＝xe－x，x[0,4]的最大值是(　　)． A．0 B. C. D. 解析　y′＝e－x－x·e－x＝e－x(1－x)，令y′＝0，x＝1， f(0)＝0，f(4)＝，f(1)＝e－1＝，f(1)为最大值，故选B. 答案　B 2．函数f(x)＝x3－3ax－a在(0,1)内有最小值，则a的取值范围为(　　)． A．0≤a1 B．0a1 C．－1a1 D．0a 解析　f′(x)＝3x2－3a，令f′(x)＝0，可得a＝x2， 又x∈(0,1)，0a1，故选B. 答案　B 3．设f(x)＝x(ax2＋bx＋c)(a≠0)在x＝1和x＝－1处均有极值，则下列点中一定在x轴上的是(　　)． A．(a，b) B．(a，c) C．(b，c) D．(a＋b，c) 解析　f′(x)＝3ax2＋2bx＋c，由题意知－1,1是方程3ax2＋2bx＋c＝0的两根，由根与系数的关系知1－1＝－，所以b＝0，故选A. 答案　A 4．函数y＝x＋2cos x在区间上的最大值是________． 解析　y′＝1－2sin x＝0，x＝，比较0，，处的函数值，得ymax＝＋. 答案　＋ 5．函数f(x)＝sin x＋cos x在x的最大、最小值分别是________． 解析　f′(x)＝cos x－sin x＝0，即tan x＝1， x＝kπ＋，(kZ)， 而x，当－＜x＜时，f′(x)＞0； 当＜x＜时，f′(x)＜0， f是极大值． 又f＝，f＝－1，f＝1， 函数最大值为f＝，最小值为f＝－1. 答案　　－1 6．求函数f(x)＝x5＋5x4＋5x3＋1在区间[－1,4]上的最大值与最小值． 解　f′(x)＝5x4＋20x3＋15x2＝5x2(x＋3)(x＋1)， 由f′(x)＝0得x＝0或x＝－1或x＝－3(舍)， 列表： x －1 (－1,0) 0 (0,4) 4 f′(x) 0 ＋ 0 ＋ f(x) 0  1  2 625 又f(0)＝1，f(－1)＝0，右端点处f(4)＝2 625， 函数y＝x5＋5x4＋5x3＋1在区间[－1,4]上的最大值为2 625，最小值为0. 7．函数y＝＋x2－3x－4在[0,2]上的最小值是(　　)． A．－ B．－ C．－4 D．－ 解析　y′＝x2＋2x－3(x[0,2])，令x2＋2x－3＝0，知x＝－3或x＝1为极值点．当x＝1时，ymin＝－，故选A. 答案　A 8．已知函数f(x)＝2x3－6x2＋m(m为常数)在[－2,2]上有最大值3，那么此函数在[－2,2]上的最小值为(　　)． A．－37 B．－29 C．－5 D．－11 解析　f′(x)＝6x2－12x＝6x(x－2)，由f′(x)＝0得x＝0或2. f(0)＝m，f(2)＝－8＋m，f(－2)＝－40＋m，显然f(0)f(2)f(－2)，m＝3，最小值为f(－2)＝－37. 答案　A 9．函数f(x)＝，x[－2,2]的最大值是________，最小值是________． 解析　y′＝＝， 令y′＝0可得x＝1或－1. 又f(1)＝2，f(－1)＝－2，f(2)＝，f(－2)＝－， 最大值为2，最小值为－2. 答案　2　－2 10．如果函数f(x)＝x3－x2＋a在[－1,1]上的最大值是2，那么f(x)在[－1,1]上的最小值是________． 解析　f′(x)＝3x2－3x， 令f′(x)＝0得x＝0，或x＝1. f(0)＝a，f(－1)＝－＋a， f(1)＝－＋a，f(x)max＝a＝2. f(x)min＝－＋a＝－. 答案　－ 11．已知函数f(x)＝－x3＋3x2＋9x＋a. (1)求f(x)的单调递减区间； (2)若f(x)在区间[－2,2]上的最大值为20，求它在该区间上的最小值． 解　(1)f′(x)＝－3x2＋6x＋9. 令f′(x)＜0，解得x＜－1或x＞3， 函数f(x)的单调递减区间为(－∞，－1)，(3，＋∞)． (2)f(－2)＝8＋12－18＋a＝2＋a， f(2)＝－8＋12＋18＋a＝22＋a， f(2)＞f(－2)． 于是有22＋a＝20，a＝－2. f(x)＝－x3＋3x2＋9x－2. 在(－1,3)上f′(x)＞0，f(x)在[－1,2]上单调递增． 又由于f(x)在[－2，－1]上单调递减， f(2)和f(－1)分别是f(x)在区间[－2,2]上的最大值和最小值， f(－1)＝1＋3－9－2＝－7， 即f(x)最小值为－7. 12．(创新拓展)已知函数f(x)＝x2e－ax(a0)，求函数在[1,2]上的最大值． 解　f(x)＝x2e－ax(a0)， f′(x)＝2xe－ax＋x2(－a)e－ax＝e－ax